Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

_Матем_Материалы / _Справочник_Матем_Формулы_Тарбокова.doc

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

4.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Вычисление кратных интегралов





Двойной интеграл

z=f(x,y)

При вычислении двойной интеграл

сводится к повторному (двукратному):

Декартова система координат (ДСК)

Полярная система координат (ПСК)

Область D – правильная в направлении оси ОY.

Внутренний интеграл меняется от кривой y=f₂(x) до кривой y=f₁(x), внешний – от прямой х=а до прямой х=b

 меняется от кривой до кривой – границ области D -в направлении стрелок на рис.,  меняется от  до .

Область D – правильная в направлении оси OX

Внутренний интеграл меняется от кривой x=f2(y) до кривой x=f₁(y), внешний – от прямой y=c до прямой y=d.

Тройнойинтеграл

При вычислении тройной интеграл сводится к повторному (трехкратному):

ДСК

Цилиндрическая (ЦСК)

Сферическая (ССК)

Внутренний интеграл меняется от поверхности до поверхности, средний – от кривой до кривой в области D, внешний – от прямой до прямой в области D.

Пределы интегрирования зависят от переменных внешних интегралов или постоянны, если граница области совпадает с плоскостями координатной сетки:

Пределы интегрирования постоянны, если граница области состоит из поверхностей координатной сетки:  =const, =const, z=const.

Пределы интегрирования постоянны, если граница области состоит из поверхностей координатной сетки:  =const, =const, =const.

Криволинейные и поверхностные интегралы I-го рода.

		Интегралы Iрода
По длине дуги			По площади поверхности
	=f(x, y, z)-линейная плотность					=f(x, y, z) – поверхностная плотность
		Разобьем

M_il_i		Выберем произвольно точки M_i,i=1n			M_i_i
f (M_i) – линейная плотность дугиl_i				f(M_i) – поверхностная плотность на площадке_i
m_i=f (M_i)l_i – i-тый элемент массы кривой		Просуммируем элементы массы m_i:			m_i= f (M_i)_i–i-тый элемент массы поверхности
–интегральная сумма для криволинейного интеграла по длине дуги				–интегральная сумма для поверхностного интеграла по площади поверхности
max l_i  0		Перейдем к пределу n			max diam _i  0

Криволинейные и поверхностные интегралы II-го рода (по координатам).

	Интегралы IIрода
Криволинейные интегралы по координатам		Поверхностные интегралы по координатам

	Разобьем

M_il_i	Выберем произвольно точки M_i,i=1n			M_i_i
–сила в точке М_iдугиl_i			–скорость в точке М_iна поверхности_i
–скалярное произведение силы в точке М_iна вектор	Просуммируем элементы работы Е_iи элементы потока жидкости П_i			-скалярное произведение скорости на единичный вектор нормали в точке М_i_,, умноженное на элемент поверхности_i
–интегральная сумма для криволинейного интеграла по координатам			–интегральная сумма для поверхностного интеграла по координатам
max l_i  0	Перейдем к пределу n			max diam _i  0
Е– работа силы по перемещению точки изА вВ по дугеАВ			П –поток жидкости через выбранную сторону поверхности

Вычисление криволинейных (по длине дуги) и поверхностных (по площади поверхности) интеграловIрода

Элемент деления

Элемент деления дуги кривой:

Поверхность

Элемент деления поверхности:

Приближенное значение элемента деления

Вычисление

Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (Iрода), нужно привести его к определенному интегралу:

1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования;

2) заменить элемент дуги dlкорнем квадратным из суммы квадратов производныхx,y,zпо t, умноженным наdt;

3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.

Правило

Чтобы вычислить поверхностный интеграл по площади поверхности (Iрода), нужно привести его к двойному интегралу:

в подынтегральную функцию вместо zподставить его выражение из уравнения поверхности;
элемент поверхности dзаменить дифференциальным выражением;
вычислить полученный двойной интеграл по области D – проекции поверхностина плоскостьxoy.

Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов IIрода (по координатам)

	Элемент деления
	На кривой АВ:			На поверхности
Интеграл меняет знак при изменении направления интегрирования		Основное свойство				Интеграл меняет знак при изменении выбора стороны поверхности
Работа E вектора силы по перемещению материальной точки изА в В:			Вычисление		Поток П векторного поля через поверхность:

Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к определенному интегралу: в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования; взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.			Правило		Чтобы вычислить поверхностный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к двойному интегралу: 1) выбрать знак +, если угол  между нормалями к поверхности и осью OZ острый, и знак , если угол  –тупой; 2) вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности; 3) элемент поверхности d заменить дифференциальным выражением ; вычислить полученный двойной интеграл по области D_xy – проекции поверхности  на плоскость xoy.