Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (фнп)

Определение частной производной.

Если в точке М(х,у) существует предел отношения частного приращения ФНПz = f(x,y) по одному из ее аргументов к приращению этого аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, то этот предел называетсячастной производнойФНП по этому аргументу в точкеМ(х,у):

;

.

Правило. Чтобы найти частную производную ФНП по одному из ее аргументов, надо все остальные аргументы ФНП считать постоянными и применять правила дифференцирования и таблицу производных функции одного аргумента, по которому берется частная производная

Градиент функции :

Градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.

Экстремум функции двух переменных

1. Необходимое условие существования экстремума.

Если функция f(x,y) имеет в точкеМ₀(х_0,у₀) экстремум и имеет в точкеМ₀частные производные первого порядка, то в этой точке частные производные первого порядка равны нулю, т. е.

.

2. Достаточные условия существования экстремума.

Пусть . Тогда

а) если 0, то в точкеМ₀функция имеет экстремум, причем при– локальный максимум, при– локальный минимум;

б) если 0, то в точкеМ₀экстремума нет;

в) если =0, то требуются дополнительные исследования.

Производная по направлению

Вектор направления ;

Орт направления:

;

Производная по направлению равна скалярному произведению градиента на орт направления:

Производные сложных функций

;

u, v – промежуточные аргументы, x,.y – основные аргументы.

Уравнение касательной плоскости к поверхностиF(x,y,z)=0 в точкеМ₀(х_0,у_0,z₀)

Скалярное произведение,

или

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области

1. Найти точки, принадлежащие области, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Вычислить значения функции в этих точках.

2. Заменить одну из независимых переменных из уравнения границы области и найти наибольшее и наименьшее значения получившейся функции одного аргумента на отрезке изменения этого аргумента: вычислить значения функции в критических точках первого порядка и на концах отрезка.

3. Из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Производные неявно заданных функций

F(x,y,z) =0,  z = f(x,y).

.

Уравнение нормали к

поверхности F(x,y,z)=0 в точкеМ₀(х_0,у_0,z₀)

векторное произведение ,

или

Полный дифференциал ФНП

.

Полный дифференциал ФНП равен сумме ее частных дифференциалов: .

Определенный

Двойной

Тройной

Криволинейный I рода

Поверхностный I рода



MR₁

:{x[a,b]}

отрезок оси ОХ

MR₂

-область Dв плоскостиXOY

S-площадь D

MR₃

 – область трехмерного пространства.

V-некоторый объем.

MR₃

-дуга кривой lвR₃

MR₃

-часть поверхности вR₃



Мi

=x

M_i=_ix_i

=S=xy

M_i(_i,_i)∆S_i

=V=xyz

M_i(_i,_i,_i)∆V_i

=l-элемент дуги кривой

M_i(_i,_i,_i)l_i

=-элемент поверхности

M_i(_i,_i,_i)_i

Определение, обозначение инт-ла

Геометрический и физический смысл.

S – площадь криволинейной трапеции

Уравнение поверхности:

z=f(x,y)

D M_i(_i,_i)

f(x,y,z) –плотность в т.М тела V

m_телаV

f(x,y,z) –плотность в т.М кривой l

=m_{кривой l}



f(x,y,z) –плотность в т.М поверхности 

=m_{поверхности}

f(x,y,z)=1