Лекции по физике
.pdf
В атоме водорода и водородоподобных ионах (Не+, Li2+ и др.) электрон движется в сферически симметричном поле ядра с зарядом Ze (для атома водорода Z = 1). Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром выражается формулой
U (r) = − |
Ze2 |
, |
(16) |
|
4πε 0r |
||||
|
|
|
где r расстояние между электроном и ядром.
На этом рисунке представлена зависимость потенциальной энергии энергии взаимодействия U(r) электрона с ядром атома (красная кривая). U(r) с уменьшением r (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает271 .
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающему формулу (2)
∂ |
ψ2 |
+ |
∂ |
ψ2 |
+ |
∂ |
ψ2 + |
2 E + |
2 |
ψ = 0. |
(16) |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2m |
Ze2 |
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
h |
4πε 0r |
|
|
|||||||
На этом рисунке представлена зависимость потенциальной энергии энергии взаимодействия U(r) электрона с ядром атома (красная кривая). U(r) с
Рис. 2 |
уменьшением |
r |
(при приближении |
|
электрона к ядру |
) |
|
272 . |
|
|
|
неограниченно убывает |
||
Поскольку поле, в котором движется электрон в атоме водорода и водородоподобных ионах является центрально-симметричным, то для решения уравнения (16) удобнее воспользоваться сферической системой координат: r, θ и φ. Выразив оператор Лапласа в этих координатах, уравнение (16) запишется в виде:
1 |
|
∂ |
2 |
∂Ψ |
|
|
|
1 |
|
∂ |
∂ψ |
|
|
|
1 ∂2ψ |
|
2m |
Ze2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
sinθ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
E + |
|
|
ψ = 0 |
(17) |
r |
2 |
|
|
r |
2 |
|
|
∂θ |
2 |
r |
2 |
sinθ ∂φ |
2 |
h |
|
||||||||||||||
|
|
∂r |
|
∂r |
|
|
sinθ ∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||
Уравнение (17) имеет однозначные, конечные и непрерывные решения в двух случаях: 1) при любых положительных значениях Е и 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных
|
|
mZ 2e4 |
1 |
|
|
|
||||
En |
= − |
|
|
|
|
|
|
, |
где n = 1, 2, 3, … |
(18) |
8ε |
2 |
2 |
n |
2 |
||||||
|
|
0 h |
|
|
|
|
|
273 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай Е >0 соответствует электрону, удаляющемуся от ядра атома на бесконечность (ионизированный атом). Случай Е < 0, соответствует электрону, связанному с атомом.
Таким образом, квантовая механика дает те же значения энергии водородного атома, как и теория Бора. Собственные функции уравнения (17) содержат три целочисленные параметра n, l и m:
ψ=ψnlm (r,θ ,ϕ ) |
(19) |
Параметр n, называемый главным квантовым числом, совпадает с номером уровня энергии (см. формулу (10) а также рис. 6). Параметры l и m представляют собой азимутальное и магнитное квантовые числа, определяющие модуль момента импульса электрона и
проекцию момента на некоторое направление z. |
274 |
|
Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Эти состояния (состояния с одинаковой энергией) называются вырожденными, а число таких состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.
Кратность вырождения энергетическиъх укровней водорода легко вычислить, исходя из возможных значений l и n. Каждому из n значений квантового числа l соответствует (2l + 1) значений квантового числа m. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n, равно
n−1 |
|
∑(2l +1) = n2 . |
(21) |
l=0
Состояния с различными значениями азимутального квантового числа l отличаются величиной момента импульса, величина которого, согласно представлениям квантовой механики определяется соотношением:
Le |
= |
h |
l(l +1). |
(22) |
|
2π |
|||||
|
|
|
276 |
||
|
|
|
|
Отметим, что состояния с различными значениями квантового числа l принято обозначать строчными буквами s, p, d, f и т.д.
Если l = 0, то это s-состояние, если l = 1, это p-состояние, если l = 2, это d-состояние, если l = 3, это f-состояние и т.д.
Отметим также, что формула (22) отличается той существенной особенностью, что допускает такие движения электрона в атоме, при которых орбитальный момент
импульса Le |
равен нулю. Для таких состояний распределение |
||||||
вероятности |
нахождения электрона в |
атоме |
оказывается |
||||
|
|
, |
. . ψ2 |
|
|
||
сферически |
симметричным |
|
т е |
|
|
зависит |
только от |
расстояния r до центра атома (рис. 1). Для других состояний с l ≠ 0 распределение уже не является сферически симметричным. Для этих состояний электронные орбиты
оказываются теми линиями, вдоль которых |
ψ2 |
имеет |
максимум. 277
В классической физике представлялось само собой
разумеющимся, что вектор орбитального момента импульса |
||||
электрона |
r |
(или магнитного момента Pm ) может быть |
||
Le |
||||
ориентирован |
относительно |
выбранного |
направления |
|
произвольным образом, т.е. плоскость Боровских орбит может быть также ориентирована произвольно.
Однако, такое предположение оказалось ошибочным. Решая уравнениеr Шредингера, можно показать, что проекция Lez вектора Le на направление z внешнего поля может принимать лишь целочисленные значения кратные
Lez |
= m |
h |
, |
(24) |
|
2π |
|||||
|
|
|
|
где m = 0, ± 1, ±2, ±3, …±l – магнитное квантовое число.
Таким образом, орбитальный механический момент Le электрона принимает (2l + 1) ориентаций в пространстве по отношению к направлению магнитного поля. 280