
- •«Национальный исследовательский
- •1. Цели и задачи учебной дисциплины
- •2. Содержание теоретического раздела дисциплины
- •2.1. Элементы линейной алгебры
- •2.2. Векторная алгебра
- •2.3. Аналитическая геометрия
- •4.2 Методические указания к выполнению контрольной работы № 1 элементы линейной алгебры
- •Выберем в качестве базисного минора
- •4.3. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1 Элементы линейной алгебры
- •4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 2 элементы векторной алгебры Понятие вектора. Линейные операции над векторами
- •Прямая линия на плоскости. Взаимное расположение прямых
- •Уравнение
- •4.5. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2 Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •130101 «Прикладная геология»,
- •130102 «Технология геологической разведки»,022000 «Экология и природопользование»
- •Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствиис качеством предоставленного оригинал-макета
Выберем в качестве базисного минора
.
Следовательно,
и система имеет ненулевые решения.
Запишем укороченную систему
.
В
качестве базисных неизвестных выберем
и
(т. к. в базисный минор выбраны 1-й и
2-й столбцы), тогда
и
- свободные неизвестные. Полагая
,
,
находим
и
.
.
Подставим
в первое уравнение системы и найдем
:
Запишем общее решение системы
.
Из
общего решения находим любое частное
решение. Например, полагая
,
,
получим
,
.
Таким образом, частное решение системы
имеет вид:
,
,
,
.
4.3. Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1 Элементы линейной алгебры
Найти значение матричного многочлена
, если задан многочлен
и матрица
1.1.
,
.
1.2.
1.3.
,
1.4.
1.5.
,
1.6.
,
1.7.
,
,
1.8.
,
1.9.
,
1.10.
,
1.11.
,
.
1.12.
,
.
1.13.
1.14.
,
1.15.
1.16.
,
1.17.
,
1.18.
,
,
1.19.
,
1.20.
,
Найти произведение матриц
и
:
2.1
2.2.,
.
2.3.
,
2.4.
2.5.
2.6.
,
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.,
.
2.13.
,
2.14.
2.15.
2.16.
,
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
3.
Вычислить определитель матрицы
из
задания 2, соответствующего варианта.
4. Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами: 1) Крамера; 2) матричным.
4.1.4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
Найти общее и одно частное решение неоднородной системы линейных уравнений, записать фундаментальную систему решений.
5.1.5.2.
5.3.5.4.
5.5.5.6.
5.7.5.8.
5.9.5.10.
5.11.5.12.
5.13.5.14.
5.15.5.16.
5.17.5.18.
5.19.
5.20.
4.4. Методические указания к выполнению контрольной работы № 2 элементы векторной алгебры Понятие вектора. Линейные операции над векторами
Геометрическим
вектором
называется направленный отрезок.
Обозначается вектор двумя большими
латинскими буквами с общей чертой
(
начало
вектора,
конец
вектора) или одной малой
(см. рис.)
Если
заданы декартовы координаты вектора
,
то модуль вектора
,
обозначаемый символом
,
вычисляется по формуле:
.
Если
заданы две точки в декартовой системе
координат
и
,
где
начало
вектора,
конец
вектора, то координаты вектора
вычисляются по формулам
.
Операции алгебраического сложения векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.
Если
,
, то координаты вектора
вычисляются по формулам
.
Если
и
действительное число, то координаты вектора
вычисляются по формулам
.
Пример.
Даны два вектора
и
.
Вычислить
а)
;
б)
.
Решение.
а)
;
Скалярное произведение векторов, его свойства
Скалярным
произведением
двух векторов
и
называется число, равное произведению
модулей этих векторов на косинус угла
между ними. Скалярное произведение
векторов
и
обозначается
или
.
Обозначим
через
угол между векторами
и
.
Тогда скалярное произведение выражается
формулой
.
Если
векторы
и
заданы декартовыми координатами
,
,
то скалярное произведение вычисляется
по формуле
.
Скалярное
произведение векторов
и
равно нулю (
)
тогда и только тогда, когда векторы
и
перпендикулярны. В частности
,
если
или
.
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1.
2.
,
где
константа;
3.
.
С помощью скалярного произведения можно вычислить:
Модуль вектора
:
. Эта формула справедлива для любой системы координат. В частности, в декартовой системе координат данная формула примет вид
, где
.
Косинус угла между векторами
и
.
Проекцию вектора
на вектор
.
Пример.
Векторы
и
взаимно перпендикулярны и
,
.
Найти
.
Решение.
.
Пример.
Вычислить косинус угла, образованного
векторами
и
.
Решение.
Воспользуемся
формулой
.
;
Векторное произведение векторов
Векторным
произведением
вектора
на вектор
называется вектор
,
обозначаемый
символом
(или
)
и определяемый тремя правилами:
, где
угол между векторами
и
;
вектор
перпендикулярен к каждому из векторов
и
;
ориентирован так, что если смотреть с его конца на плоскость векторов
и
, то кратчайший поворот от
к
происходит против часовой стрелки (см. рис.)
Алгебраические свойства векторного произведения:
;
, где
вещественное число;
.
Геометрические свойства векторного произведения:
модуль векторного произведения
равен площади параллелограмма, построенного на векторах
и
;
если
,
, то
тогда и только тогда, когда
и
параллельные векторы;
если векторы
и
заданы декартовыми координатами
,
, то векторное произведение
на
вычисляется по формуле
.
Пример.
Даны точки
,
,
.
Вычислить площадь треугольника
.
Решение.
,
Вычислим
:
.
Тогда
(кв.ед.).
Смешанное произведение трех векторов
Смешанным
произведением
трех векторов
,
и
называется число, равное скалярному
произведению вектора
на вектор
.
Принято обозначение смешанного
произведения трех векторов
(или
).
Геометрические свойства смешанного произведения:
модуль смешанного произведения
равен объему параллелепипеда, построенного на векторах
,
и
;
векторы
,
и
лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда
.
Если
векторы
,
и
заданы декартовыми координатами:
,
,
,
то смешанное произведение вычисляется
по формуле
.
Пример.
Даны вершины тетраэдра
,
,
,
.
Найти длину высоты, опущенную из вершины
.
Решение.
.
Тогда
Откуда
получим
.
Вычислим
(см. предыдущий пример).
Тогда
Кривые второго порядка
В декартовой системе координат общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
(2)
где
не все коэффициенты
,
и
одновременно равны нулю. Если
,
то уравнение
определяет прямую линию.
В декартовой системе координат уравнение (2) примет один из следующих видов:
каноническое уравнение окружности с центром в точке
и радиусом
;
каноническое уравнение эллипса с центром в точке
и полуосями
и
;
канонические уравнения гиперболы:
а)
каноническое уравнение гиперболы сцентром
в точке
,
действительной полуосью
и мнимой полуосью
;
б)
каноническое уравнение гиперболы с
центром
в точке
,
действительной полуосью
и мнимой полуосью
;
канонические уравнения параболы:
а)
каноническое уравнение параболы с
вершиной в точке
и осью симметрии, параллельной оси
.
б)
каноническое уравнение параболы с
вершиной в точке
и осью симметрии, параллельной оси
.
Используя каноническое уравнение кривой, легко построить график данной линии в декартовой системе координат.
Пример.
Привести уравнение кривой второго
порядка
к каноническому виду. Определить вид
кривой и построить ее график.
а)
.
Разделим
обе части уравнения на 144:
.
Данное уравнение определяет гиперболу
с центром в точке
,
действительной полуосью
и мнимой полуосью
.
Сделаем схематический чертеж.
б)
парабола
с вершиной в точке
и осью симметрии, параллельной оси
.
в)
.
Преобразуем это уравнение, возведя обе части в квадрат
,
,
,
.
Последнее
уравнение определяет эллипс с центром
в точке
и полуосями
,
.
Если решить данное уравнение относительно
,
получим
,
.
В
условии задачи дано второе из этих
уравнений. Оно определяет не весь эллипс,
а только ту его часть, для точек которой
,
т.е. половину эллипса, расположенную
ниже оси
.