Определенный интеграл

Изучение определенного интеграла начинаем со следующей задачи. Пусть функция

определена на ,. Попробуем отыскать метод вычисления площадифигуры (криволинейной трапеции), ограниченной осью, прямыми,и графиком функции, рис. 1.

Рассмотрим частные случаи

1. Функция постоянна на. В таком случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, а его площадь равна длине основания, умноженной на высоту

.

2. Пусть непрерывна на. Разделим отрезокнапроизвольных частей точками. Выберем на каждом элементарном отрезкепроизвольную точкуи вычислим значение функции в ней, т.е. величину.

Умножим найденные значения на длину, т.е..

Составим сумму всех таких произведений

(6)

Сумма вида (6) называется интегральной суммой функции на отрезке.

Обозначим .

Найдем предел интегральной суммы (6), когда так, что.

Если при этом интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезкана частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то числоназывается определенным интегралом от функциина отрезкеи обозначается

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, подынтегральной функцией,подынтегральным выражением,переменной интегрирования,областью интегрирования.

Теорема существования определенного интеграла

Если функция непрерывна на, то определенный интеграл существует.

Укажем на некоторые свойства определенного интеграла:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования .

2. 

3. Для любого с, .

Теорема. Если функция непрерывна на, то определенный интегралс переменным верхним пределом является первообразной для функции, то есть

Формула Ньютона Лейбница

Если первообразная для непрерывной на функции, то имеет место равенство:

(7)

Формула Ньютона Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.

Примеры 26.

Формула Ньютона Лейбница лежит в основе следующих методов, полезных при вычислении определенных интегралов.

Замена переменных в определенном интеграле

Пусть непрерывна на. Введем новую переменнуюпо формуле. Пусть,, функции,инепрерывны на. Тогда

Пример 27.

Положим

Интегрирование по частям

Для любых непрерывно дифференцируемых на функцийиимеет место равенство:

Или в обозначениях

Примеры 28. Вычислить:

Несобственные интегралы

Пусть теперь функция определена и непрерывна на бесконечном интервале. Тогда для любогозначение интегралаопределено и зависит от. Если существует конечный предел, то этот предел называется несобственным интегралом

от наи обозначается через.

В этом случае говорят, что сходится.

В противном случае, т.е. когда конечного предела для интеграла прине существует, говорят о расходимости несобственного интеграла.

Аналогично, определяются следующие несобственные интегралы для других бесконечных пределов

где с произвольное число.

Примеры 29.

1. Вычислить:

2) Установить, при каких интегралсходится?

Пусть . Тогда

Таким образом,

Значит, если , то, т. е. интеграл сходится.

Если , то, т. е. интеграл расходится.

При =1, , т. е. интеграл расходится.

3.