Поляризованность.

Для количественного описания поляризации диэлектрика используют дипольный момент единицы объема. Чтобы описать поляризацию в данной точке, мысленно выделяют физически малый объем , содержащий эту точку, затем находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме и составляют соотношение

– поляризованность диэлектрика.

Пусть в объеме содержится диполей, тогда

,

где – концентрация молекул, – средний дипольный момент одной молекулы.

Как показывает опыт, для обширного класса диэлектриков поляризованность линейно зависит от напряженности поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и не слишком велико, то

, (4.1)

где – безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от , она характеризует свойства самого диэлектрика, она всегда больше нуля.

Однако существуют диэлектрики, для которых выражение (4.1) неприменимо. Это некоторые ионные кристаллы, электреты и сегнетоэлектрики (у них связь между и нелинейная и зависит от предыстории диэлектрика).

Теорема Гаусса для поля вектора .

Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком избыточному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью , т.е.

. (4.2)

Вектор D.

Поскольку источниками поля являются все электрические заряды — сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля можно записать так:

, (4.3)

где и — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью . Появление связанных зарядов усложняет дело, и данное выражение оказывается малополезным для нахождения поля в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии. Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля через связанные заряды , которые в свою очередь определяются неизвестным полем .

Выразим заряд через поток вектора , используя теорему Гаусса для вектора . Тогда выражение (4.3) можно преобразовать к такому виду:

.

Величину, стоящую под интегралом в скобках, обозначают буквой :

. (4.4)

Таким образом,

(4.5)

поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью. Это утверждение называют теоремой Гаусса для поля вектора .

Вектор представляет собой сумму двух совершенно различных величин: и . Поэтому он представляет собой вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла, его часто называют электрическим смещением или электрической индукцией. Размерность вектора та же, что и вектора . Единицей величины служит кулон на квадратный метр (Кл/м²)

Связь между векторами и .

В случае изотропных диэлектриков поляризованность . Подставив в это соотношение , получим , или

, (4.6)

где — диэлектрическая проницаемость вещества и .

Диэлектрическая проницаемость (как и ) является основной электрической характеристикой диэлектрика. Для всех веществ , для вакуума . Значения зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до нескольких тысяч (у некоторых керамик).

Условия на границе.

Рассмотрим поведение векторов и сначала на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Определим условия связывающие вектора и по обе стороны границы. Пусть для большей общности на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора и теоремы Гаусса для вектора :

, .

Условие для вектора . Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике 1 равно , а в диэлектрике 2 — . Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур. Стороны контура, параллельные границе раздела, должны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а высота контура должна быть пренебрежимо малой.

Тогда согласно теореме о циркуляции вектора

,

где проекции вектора взяты на направление обхода контура. Если на нижнем участке контура проекцию вектора взять не на орт, а на общий орт , то и из предыдущего уравнения следует, что

(4.7)

т. е. тангенциальная составляющая вектора оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка).

Условие для вектора . Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположив его на границе раздела двух диэлектриков. Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор был одинаков. Тогда согласно теореме Гаусса для вектора

,

где - поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора на общую нормаль (она направлена от диэлектрика 1 к диэлектрику 2), получим и предыдущее уравнение можно привести к виду

. (4.8)

Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора , вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела. Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (), то

(4.9)

в этом случае нормальные составляющие вектора скачка не испытывают, они оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела.

Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой границы составляющие и изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же и претерпевают скачок.