Лекция 13.

Дифракцией называется совокупность явлений, наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики. Дифракция, в частности, приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Если на пути параллельного светового пучка расположено круглое препятствие (круглый диск, шарик или круглое отверстие в непрозрачном экране), то на экране, расположенном на достаточно большом расстоянии от препятствия, появляется дифракционная картина – система чередующихся светлых и темных колец. Если препятствие имеет линейный характер (щель, нить, край экрана), то на экране возникает система параллельных дифракционных полос.

Для наблюдения дифракции световых волн необходимо создание специальных условий. Это обусловлено тем, что масштабы дифракции сильно зависят от соотношения размеров препятствия и длины волны.

Явление дифракции волн может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса. Однако принцип Гюйгенса не дает никаких указаний об амплитуде, а, следовательно, и об интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Этот недостаток был устранен французским ученым Френелем, который развил количественную теорию дифракционных явлений. Он дополнил принцип Гюйгенса представлением об интерференции вторичных волн. Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет найти амплитуду результирующей волны в любой точке пространства.

Амплитуда вторичной волны зависит от амплитуды падающей волны в месте нахождения элемента поверхности , угла между нормалью к поверхности n и направлением в точку наблюдения P, а так же от расстояния между элементом поверхности и любой точкой наблюдения .

Результирующая амплитуда колебаний в данной точке представляет собой суперпозицию элементарных амплитуд с учетом их взаимных фазовых соотношений:

, (13.1)

где интегрирование проводится по всей волновой поверхности S, - коэффициент, зависящий от угла .

Данная формула выражает математически принцип Гюйгенса-Френеля.

Вычисление по этой формуле представляет собой довольно сложную задачу. Однако, в некоторых случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.

В качестве примера рассмотрим задачу о нахождении амплитуды световых колебаний от точечного источника S в точке P за небольшим круглым отверстием.

Волновая поверхность такой волны симметрична относительно прямой SP.

Френель предложил разбить волновую поверхность падающей волны в месте расположения препятствия на кольцевые зоны (зоны Френеля), построенные так, что расстояние от краев каждой зоны до точки P отличаются на полдлины волны, .

Расстояние от внешнего края -й зоны до точки Р можно представить следующим образом:

, (13.2)

где - расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р.

Если смотреть на волновую поверхность из точки P, то границы зон Френеля будут представлять собой концентрические окружности.

Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон, будут находиться в противофазе. Поэтому результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на .

Возьмем границу -й зоны, которая выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты . Если радиус волновой поверхности обозначить , а радиус внешней границы -й зоны - , тогда, используя теорему Пифагора можно записать:

. (13.3)

Откуда, пренебрегая слагаемым, содержащим в виду рассмотрения не слишком больших , высота сегмента:

. (13.4)

Так как при не слишком больших высота сегмента , то из (13.3) .

Таким образом, внешний радиус -й зоны Френеля

. (13.5)

Стоит заметить, что если падающая нормально волна плоская (), то

.

Несложно получить, что при не слишком больших зоны Френеля имеют одинаковую площадь и не зависят от . Таким образом, одинаковые по площади зоны должны были бы возбуждать в точке наблюдения колебания с одинаковой амплитудой. Но так как расстояние от зоны до точки наблюдения увеличивается с ростом и угол между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р растет с увеличением , то амплитуды колебаний, возбуждаемых зонами Френеля в точке Р, образуют монотонно убывающую последовательность:

где – амплитуда колебаний, вызванных m-й зоной.

Так как фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на , то результирующая амплитуда в точке наблюдения:

. (13.6)

Вследствие монотонного убывания амплитуды можно приближенно считать, что

. (13.7)

Таким образом, выражение (13.6) можно упростить

. (13.8)

Следовательно, суммарная амплитуда колебаний в точке P, вызванная всем волновым фронтом, равна половине амплитуды одной первой (центральной) зоны.

Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга. Если поставить непрозрачный диск на пути волны и открыть отверстие только в одну зону Френеля, то амплитуда колебаний в точке наблюдения возрастает в 2 раза (а интенсивность в 4 раза) по сравнению с действием невозмущенной волны. Если открыть две зоны, то амплитуда колебаний обращается в нуль. Если изготовить непрозрачный экран, который оставлял бы открытыми только несколько нечетных (или только несколько четных) зон, то амплитуда колебаний резко возрастет. Такие пластинки, обладающие свойством фокусировать свет, называются зонными пластинками.

Рассмотрим графический метод сложения амплитуд. Волновую поверхность мысленно разбивают на весьма узкие кольцевые зоны. Амплитуду колебаний, создаваемых каждой из таких зон, изображают в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебания. Амплитуда колебаний, создаваемых каждой следующей узкой кольцевой зоной, будет убывать по модулю и отставать по фазе от колебаний, создаваемых предыдущей зоной. Изобразив отставание по фазе поворотом каждого вектора против часовой стрелки на соответствующий угол, получим цепочку векторов, векторная сумма которых и есть результирующая амплитуда колебаний в данной точке. В пределе, при стремлении ширины зон к нулю, векторная диаграмма принимает вид спирали.

Если на пути сферической волны поставить непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса , то амплитуда колебаний в точке Р будет равна:

, (13.9)

где знак зависит от числа открытых зон Френеля, «плюс» берется для нечетных «минус» – для четных. Число открытых зон Френеля равно

. (13.10)

Дифракционная картина от круглого отверстия – чередование светлых и темных концентрических колец.

Если же на пути волны поставить непрозрачный диск радиуса , то амплитуда колебаний в точке Р будет равна

. (13.11)

В случае непрозрачного диска дифракционная картина имеет вид чередование светлых и темных концентрических полос, при этом в центре при любом числе всегда светлое пятно, это – так называемое пятно Пуассона.

Рассмотрим теперь дифракцию в случае, когда параллельный пучок света падает на щель. Это дифракция Фраунгофера.

Пусть на длинную щель шириной падает плоская монохроматическая волна с длиной .

Поместим за щелью линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран. Линза позволяет наблюдать на экране дифракцию в параллельных лучах.

Амплитуда световых волн в точке Р на экране, которая находится под углом к оптической оси линзы задается формулой:

, (13.12)

где - амплитуда при угле .

При значениях , удовлетворяющих условию , т.е. в случае, если

,

амплитуда обращается в нуль. Таким образом, данное соотношение определяет положение минимумов интенсивности. Стоит заметить, что , поскольку при образуется центральный максимум. В промежутках между минимумами наблюдаются максимумы.

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно:

, (13.13)

где - интенсивность света в середине дифракционной картины. Из данного выражения вытекает, что дифракционная картина будет симметрична относительно центра линзы (). Стоит отметить, что при дифракции Фраунгофера в середине дифракционной картины образуется максимум освещенности.

Количество минимумов интенсивности определяется шириной щели и длиной падающей волны:

.

Видно, что если ширина щели меньше длины волны, минимумы не возникают. Дифракция тем ярче выражена, чем уже щель и чем больше длина волны.

При практическом использовании дифракции света большой интерес представляет дифракционная решетка. Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и тоже расстояние щелей. Расстояние между серединами соседних щелей называется постоянной или периодом решетки.

Пусть на дифракционную решетку с числом щелей падает нормально плоская монохроматическая волна с длиной . Между экраном и решеткой поместим собирающую линзу. Экран расположим в фокальной плоскости линзы. Если свет будет когерентным, то световые волны от всех щелей будут интерферировать друг с другом и будет наблюдаться система максимумов и минимумов.

Разность хода лучей от соседних щелей равна .

Учитывая условия интерференционного максимума ,

получаем условие главного максимума для дифракционной решетки

, (13.14)

где - порядок главного максимума. Колебания от соседних щелей при выполнении условия максимума будут приходить в одинаковой фазе и усиливать друг друга. Следовательно, результирующая амплитуда создаваемая решеткой в соответствующей точке экрана будет в раз больше амплитуды от одной щели:

,

где - амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом . Учтя, что , получим

.

Минимумы интенсивности будут наблюдаться при условии:

, (13.15)

где - ширина щели. Кроме дифракционных минимумов, определяемых данным выражением, возникают еще добавочные минимумы (интерференционные минимумы) между соседними главными максимумами,

, (13.16)

где принимает целочисленные значения кроме 0, N, 2N … Между двумя соседними главными максимумами расположены N-1 интерференционных минимумов, между которыми в сою очередь располагаются слабые вторичные максимумы.

Как следует из формулы дифракционной решетки, положение главных максимумов (кроме нулевого) зависит от длины волны λ. Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором. Если на решетку падает немонохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции (т. е. при каждом значении m) возникает спектр исследуемого излучения.

С помощью дифракционной решетки можно производить очень точные измерения длины волны. Если период d решетки известен, то определение длины сводится к измерению угла , соответствующего направлению на выбранную линию в спектре m-го порядка.

У хороших решеток параллельные друг другу штрихи имеют длину порядка 10 см, а на каждый миллиметр приходится до 2000 штрихов. При этом общая длина решетки достигает 10–15 см. На практике применяются также и более грубые решетки с 50 – 100 штрихами на миллиметр, нанесенными на поверхность прозрачной пленки. В качестве дифракционной решетки может быть использован кусочек компакт-диска.

Обычный компакт-диск, оказывается, может работать как оптический прибор - дифракционная решетка. Концентрические дорожки, на которых записаны данные, расположены друг к другу настолько близко, что на них происходит дифракция света. При этом лучи разных цветов дифрагируют по-разному, и на диске можно видеть спектр падающего света