Лекция 1.

Электрическое поле.

Многие физические явления, наблюдаемые в природе и окружающей нас жизни, не могут быть объяснены только на основе законов механики, молекулярно-кинетической теории и термодинамики. В этих явлениях проявляются силы, действующие между телами на расстоянии, причем эти силы не зависят от масс взаимодействующих тел и, следовательно, не являются гравитационными. Эти силы называют электромагнитными силами.

О существовании электромагнитных сил знали еще древние греки. Но систематическое, количественное изучение физических явлений, в которых проявляется электромагнитное взаимодействие тел, началось только в конце XVIII века. Трудами многих ученых в XIX веке завершилось создание стройной науки, изучающей электрические и магнитные явления. Эта наука, которая является одним из важнейших разделов физики, получила название электродинамики.

Основными объектами изучения в электродинамике являются электрические и магнитные поля, создаваемые электрическими зарядами и токами

Еще древние греки где-то в 600 годах до нашей эры обнаружили, что если потереть янтарь об шерсть, то янтарь после этого мог притягивать некоторые объекты. Сегодня этот эффект можно трактовать как, что янтарь приобрел некоторый электрический заряд или он стал заряженным.

Слово электрический происходит из древнегреческого слово электрон («ἤλεκτρον») означающий янтарь.

Многие опыты с электростатическим эффектом показывают, что существуют два вида электрического заряда. Бенжамин Франклин (1706-1790) предположил назвать эти два вида заряда положительным и отрицательным.

Два положительных или два отрицательных заряда отталкиваются, а отрицательный и положительный заряды притягиваются.

Другими словами, одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.

Одним из фундаментальных законов природы является экспериментально установленный закон сохранения электрического заряда:

В любой электрически изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется.

Величина электрического заряда является релятивистски инвариантным: она не зависит от системы отсчета, а значит не зависит от того, движется он или покоится.

Электрический заряд тела – дискретная величина:

.

Взаимодействие заряженных тел выражается особенно просто, если их размеры малы по сравнению с взаимным расстоянием. Такие заряженные тела называются «точечными зарядами»

Закон взаимодействия двух точечных зарядов был установлен экспериментально на опыте Кулоном в 1785 г.

В своих опытах Кулон измерял силы притяжения и отталкивания заряженных шариков с помощью сконструированного им прибора – крутильных весов, отличавшихся чрезвычайно высокой чувствительностью. В ходе опытов Кулон установил, что: 1) сила отталкивания двух маленьких одноименно заряженных шариков обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами обоих шариков; 2) сила взаимодействия пропорциональна заряду каждого из шариков.

На основе этого Кулон пришел к установлению следующего закона:

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов направлена вдоль прямой линии, соединяющей заряды, прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними

Математически закон Кулона может быть выражен следующим образом

.

Здесь – коэффициент пропорциональности, и – величины взаимодействующих зарядов, – расстояние между зарядами.

Из механики известно, что сила величина векторная. Таким образом, закон Кулона в векторном виде:

, (1.1)

где – единичные вектор, имеющий направление от заряда к заряду .

В международной системе СИ за единицу заряда принят кулон (1 Кл).

Коэффициент пропорциональности в системе СИ равен:

.

С другой стороны

,

где - электрическая постоянная.

Численное значение коэффициента связано со скоростью света следующим соотношением .

Элементарный заряд равен .

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле. Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не вносит заметного перераспределения исследуемых зарядов.

Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика - напряженность электрического поля.

Напряженность электрического поля есть отношение силы, с которой поле действует на пробный заряд, помещенный в данную точку пространства, к величине этого заряда:

. (1.2)

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина.

Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавали бы каждый из зарядов в отдельности.

.

Это свойство электрического поля называют принципом суперпозиции.

В соответствии с законом Кулона (1.1), напряженность электростатического поля можно записать в виде

. (1.3)

Другими словами - это закон Кулона, но в «полевой форме». Напряженность поля в СИ – вольт на метр (В/м).

Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим.

За направление напряженности поля принимают направление силы, действующей на положительный заряд.

Поле можно описать, указав для каждой точки модуль и направление вектора . Совокупность этих векторов образует поле вектора напряженности электрического поля.

Для наглядности, электрическое поле можно описать с помощью линий напряженности, которые мы будем называть сокращенно линиями или силовыми линиями.

Линии напряженности проводят таким образом, что бы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора . Густота линий выбирается так, что бы число линий, пронизывающих единицу поверхности, перпендикулярной к линиям площадки, было равно модулю вектора .

Линии поля точечного заряда представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен и к заряду, если он отрицателен.

Линии нигде, кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются.

Там, где напряженность поля велика , линии проводят гуще, там, где поле слабое – густота линий невелика.

Поле, напряженность которого во всех точках имеет одну и ту же величину и направление, называется однородным. Силовые линии однородного поля представляют собой параллельные прямые.

Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они «размазаны определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов — объемной , поверхностной и линейной . По определению,

, , ,

где - заряд, заключенный соответственно в объеме , на поверхности и на длине .

Таким образом, напряженность электрического поля можно представить в следующем виде

.

Во многих задачах электростатики требуется определить электрическое поле по заданному распределению зарядов. Например, найти напряженность поля в точке, отстоящей на расстоянии x от центра, равномерно заряженной зарядом q прямой нити длиной 2l, расположенной симметрично относительно ее концов. Данную задачу можно решить двумя способами, но окончательным ответом будет выражение

.

Экспериментально установленные закон Кулона и принцип суперпозиции позволяют полностью описать электростатическое поле заданной системы зарядов в вакууме. Однако, свойства электростатического поля можно выразить в другой, более общей форме, не прибегая к представлению о кулоновском поле точечного заряда.

Введем новую физическую величину, характеризующую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Если имеется некоторая произвольная замкнутая поверхность, то поток вектора сквозь нее определяется как

. (1.4)

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля , но и от выбора направления нормали. В случае замкнутых поверхностей принято нормаль n брать наружу области, охватываемой этими поверхностями, т.е. выбирать внешнюю нормаль.

Теорема Гаусса: поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности деленной на ,

. (1.5)

Используя теорему Гаусса, можно в ряде случаев легко вычислить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела, если заданное распределение зарядов обладает какой-либо симметрией и общую структуру поля можно заранее угадать.

Примером может служить задача о вычислении напряженности электрического поля сферической поверхности, заряженной равномерно зарядом или равномерно заряженной плоскости, с поверхностной плотностью .

Лекция 2.

Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом . В любой точке этого поля на пробный заряд , как известно, будет действовать сила

. (2.1)

Данная сила является центральной. Как известно из механики, любое стационарное поле центральных сил является консервативным. Следовательно, работа, которая совершается силами поля неподвижного точечного заряда над зарядом , при перемещении заряда из одной точки в другую, не зависит от формы пути. Найдем работу, которая совершается этими силами при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 на элементарном пути :

.

Тогда вся работа на пути 1-2 определяется как

. (2.2)

Полученный результат подтверждает, что работа не зависит от формы пути, а зависит только от начального и конечного положений заряда . Таким образом, силы, действующие на заряд в поле неподвижного заряда , являются потенциальными.

Их механики известно, что работа потенциальных сил на замкнутом пути равна нулю. Тогда, работу, совершаемую силами поля над зарядом при обходе его по замкнутому контуру, можно представить в виде

.

Сократив на постоянную величину , получим:

. (2.3)

Данный интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора . Поэтому выражение (2.3) называют теоремой о циркуляции вектора . Оно означает, что циркуляция вектора любого электростатического поля равна нулю. Из данной теоремы вытекает, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми.

Из механики известно, что работа сил консервативного поля равна убыли потенциальной энергии системы. Тогда, работу (2.2) можно представить как

, (2.4)

где

(2.5)

потенциальная энергия заряда в поле заряда . Можно видеть, что разные пробные заряды , и т.д. будут обладать в одной и той же точке поля различной потенциальной энергией , и т.д. Однако отношение будет для всех зарядов одинаково. Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в данной точке к величине этого заряда, называют потенциалом поля в данной точке:

. (2.6)

В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В), 1В=1Дж/1Кл.

Стоит заметить, что когда говорят о потенциале в одной какой-либо точке, то всегда подразумевают разность потенциалов между этой точкой и какой-либо другой, выбранной заранее.

Учтя значение потенциальной энергии (2.5), получим для потенциала поля точечного заряда следующее выражение

. (2.7)

Рассмотрим систему, состоящую из неподвижных точечных зарядов. Потенциал поля, создаваемого такой системой неподвижных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

, (2.8)

где - расстояние от точечного заряда до интересующей нас точки поля.

Заряд , находящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциально энергией

. Следовательно, работа сил поля над зарядом может быть выражена через разность потенциалов:

. (2.9)

Вместе с тем, данная работа может быть представлена в виде

.

Приравнивая друг другу эти два выражения и сокращая на , получаем:

.

При обходе по замкнутому контуру и данное выражение переходит в (2.3).

Найдем связь между напряженностью электрического поля и потенциалом. Из механики известно, что сила связана с потенциальной энергией следующим соотношением:

, (2.10)

где - оператор Набла.

Для заряженной частицы , находящейся в электростатическом поле, сила , а потенциальная энергия . Таким образом, подставляя эти выражения в соотношение (2.10) получаем

,

откуда находим, что

(2.11)

или

. (2.12)

Таким образом, напряженность поля равна минус градиенту потенциала . С помощью данной формулы можно восстановить поле , зная функцию .

Подобно тому, как графически изображаются линии напряженности электрического поля, можно изобразить и разность потенциалов. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Если потенциал задан как функция x, y и z, то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид

.

Согласно формуле (2.9), при перемещении заряда вдоль такой поверхности (или линии) работа электрических сил равна нулю. Это может быть только в том случае, если направление перемещения все время перпендикулярно к действующей силе, а значит, эквипотенциальная поверхность в любой точке перпендикулярна к линиям поля .

На чертеже изображаются не эквипотенциальные поверхности, а лишь их сечение плоскостью чертежа, т. е. эквипотенциальные линии. С их помощью можно получить наглядное представление о том, как изменяется разность потенциалов в данном поле. Условимся проводить эквипотенциальные поверхности таким образом, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была всюду одной и тоже. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряженности поля. Действительно, чем гуще располагаются эквипотенциальные поверхности, тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности. Следовательно, тем больше в данном месте , а значит и больше напряженность поля в данном месте.

Найдем потенциал поля создаваемый двумя точечными зарядами и , разделенными расстоянием . Проведем ось через заряды, а начало координат поместим посредине между ними. Тогда по формуле (2.8) потенциал системы двух зарядов дается выражением

. (2.13)

Существует важный частный случай, когда заряды расположены близко друг к другу, т.е. когда рассматривается поле на таких расстояниях от зарядов, что по сравнению с ним промежуток между зарядами пренебрежимо мал ().

Систему из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга называют электрическим диполем. Когда говорят о поле диполя, то предполагается сам диполь точечным.

Если расстояние станет нулем, то два потенциала сократятся и поле исчезнет. Но если они не совсем слились, то можно получить хорошее приближение к потенциалу, разложив слагаемые в (2.13) в ряд по степеням малой величины (по формуле бинома Ньютона). Оставляя только первые степени , получаем

.

Тогда, учитывая, что получаем

и

. (2.14)

Разлагая в биноминальный ряд полученное выражение (2.14) по и отбрасывая члены с высшими степенями , получаем

.

Тогда окончательно

.

Поступая аналогичным образом, можно найти, что

.

Подставляя последние два слагаемых в уравнение (2.13) получаем для потенциала

. (2.14)

Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, пропорциональны – произведению заряда на расстояние между зарядами. Это произведение называется дипольным моментом пары зарядов и обозначается символом .

Диполь может служить электрической моделью многих молекул. Электрическим дипольным моментом обладает, например, нейтральная молекула воды (H₂O), так как центры двух атомов водорода располагаются не на одной прямой с центром атома кислорода, а образуют равнобедренный треугольник с углом при вершине 105°. Дипольный момент молекулы воды p = 6,2·10^–30 Кл · м.

Выражение (2.14) можно переписать в виде

, (2.15)

так как , – угол между осью диполя и радиус-вектором к точке .

Запишем потенциал диполя в векторном виде, для этого определим как вектор, и направим его вдоль оси диполя от отрицательно заряда к положительному . Тогда

,

где – единичный радиальный вектор и .

Таким образом, дипольный потенциал можно представить в виде

. (2.16)

Стоит заметить, что потенциал поля диполя убывает с расстоянием быстрее (), чем потенциал поля точечного заряда ().

Чтобы найти напряженность поля диполя, нужно определить градиент . Например, -компонента поля в соответствие с (2.12) есть . Для вычисления поля диполя, ориентированного вдоль оси , используем выражение (2.14):

. (2.17)

Соответственно - и -компоненты равны

, .

Из этих двух компонент можно составить компоненту, перпендикулярную к оси , которая называется поперечной компонентой :

. (2.18)

Поперечная компонента лежит в плоскости и направлена перпендикулярно оси диполя. Полное поле диполя равно

. (2.19)

Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу расстояния от диполя. На оси при оно вдвое сильнее, чем при .

Если поместить диполь во внешнее неоднородное поле, то результирующая сила действующая на него, будет равна

, (2.20)

где - электрический момент диполя. Стоит отметить, что в однородном поле , поэтому . Следовательно, сила действует на диполь только в неоднородном поле. Направление вектора в общем случае не совпадает ни с вектором , ни с вектором .

Предположим, что поле быстрее изменяется в направлении x. Тогда проекция силы на данное направление запишется как

. (2.21)

Таким образом, под действием этой силы диполь будет либо втягиваться в область более сильного поля (угол острый), либо выталкиваться из нее (угол тупой).

Если диполь находится в однородном поле, то заряды окажутся под действием сил и . Эти силы образуют пару, плечо которой равно . Следовательно, модуль момента пары сил, действующих на диполь

или в векторном виде

. (2.22)

Таким образом, момент (2.22) стремиться повернуть диполь так, чтобы его момент установился по направлению поля.

Лекция 3.

Проводники.

Истинное электрическое поле в любом веществе —его называют микрополем— меняется весьма резко как в пространстве, так и во времени. Оно различно в разных точках атомов и промежутках между ними.

Под электрическим полем в веществе — его называют макрополем — мы будем понимать пространственно усредненное микрополе. Это усреднение проводится по так называемому физически бесконечно малому объему—объему, содержащему большое число атомов, но имеющему размеры во много раз меньше, чем те расстояния, на которых макрополе меняется заметно. Итак, поле в веществе

.

При внесении любого вещества в электрическое поле в веществе происходит смещение положительных и отрицательных зарядов (ядер и электронов), что в свою очередь приводит к частичному разделению этих зарядов. В тех или иных местах появляются нескомпенсированные заряды различного знака. Это явление называют электростатической индукцией, а появившиеся в результате разделения заряды – индуцированными зарядами.

Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле, которое вместе с исходным (внешним) электрическим полем образует результирующее поле. Зная внешнее поле и распределение индуцированных зарядов, можно при нахождении результирующего поля уже не обращать внимание на наличие самого вещества — его роль уже учтена с помощью индуцированных зарядов.

Таким образом, результирующее поле при наличии вещества определяется просто как суперпозиция внешнего поля и поля индуцированных зарядов:

.

Вещество многообразно по своим электрическим свойствам. Наиболее широкие классы вещества составляют проводники и диэлектрики.

Основная особенность проводников – наличие свободных зарядов (электронов), которые участвуют в тепловом движении и могут перемещаться по всему объему проводника. Типичные проводники – металлы

Поместим металлический однородный проводник во внешнее электрическое поле и сообщим ему какой-нибудь заряд. На все заряды проводника будет действовать электрическое поле, в результате чего, все отрицательные заряды сместятся против поля. Такое перемещение зарядов (ток) будет продолжаться до тех пор, пока не установится определенное распределение зарядов, при котором электрическое поле во всех точках внутри проводника обратится в нуль. Если бы осталось внутри хоть какое-нибудь поле, оно бы вынудило двигаться еще какие-нибудь заряды, таким образом, возможно только такое электростатическое решение, когда поле внутри проводника всюду равно нулю, отсутствует ().

Отсутствие поля внутри однородного проводника означает также, что потенциал в проводнике не меняется от точки к точке, т.к. градиент потенциала равен нулю. Следовательно, любой однородный проводник в электрическом поле представляет собой эквипотенциальную область, а его поверхность – эквипотенциальна.

Избыточные заряды появляются лишь на поверхности проводника с некоторой плотностью , вообще говоря, различной в разных точках его поверхности. Также стоит заметить, что электрическое поле возле самой поверхности проводника должно быть направлено по нормали в каждой точке. Касательной составляющей у него быть не может.

Если бы она появилась, то электроны двигались по поверхности, тогда бы равновесие зарядов было бы невозможно. Это также следует и из того, что линии электрического поля должны всегда быть направлены перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.

Напряженность электрического поля снаружи проводника непосредственно у поверхности связана простым соотношением с локальной плотностью заряда на поверхности проводника. Эту связь легко установить с помощью теоремы Гаусса. Поле у наружной поверхности проводника равно

,

где – проекция вектора на внешнюю нормаль (по отношению к проводнику) и – локальная поверхностная плотность заряда на проводнике.