
Математика. 30
..docxЕвклидовы пространства
Определение евклидова пространства
Вещественное
линейное пространство
называется евклидовым,
если каждой паре элементов
этого пространства поставлено в
соответствие действительное число
,
называемое скалярным произведением,
причем это соответствие удовлетворяет
следующим условиям:
В
скалярном произведении
вектор
—
первый, а вектор
—
второй сомножители. Скалярное произведение
вектора
на себя называется скалярным квадратом.
Условия 1–4 называются аксиомами
скалярного произведения. Аксиома 1
определяет симметричность скалярного
произведения, аксиомы 2 и 3 — аддитивность
и однородность по первому сомножителю,
аксиома 4 — неотрицательность скалярного
квадрата
.
Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1–8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1–4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство — это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.
Простейшие следствия из аксиом скалярного произведения
-
Аксиомы 2 и 3 скалярного произведения можно заменить одним условием линейности скалярного произведения по первому сомножителю:
-
Условие линейности скалярного произведения по первому сомножителю в силу симметричности (аксиома 1) справедливо и для второго сомножителя, т.е. скалярное произведение линейно по любому сомножителю.
-
Линейность скалярного произведения по любому сомножителю распространяется на линейные комбинации векторов:
для
любых векторов
и действительных чисел
.
-
Если хотя бы один сомножитель — нулевой вектор, то скалярное про изведение равно нулю:
Действительно,
представим нулевой вектор в виде
,
где
—
произвольный вектор из
.
Тогда из аксиомы 3 получаем:
Неравенство Коши-Буняковского
Для
любых векторов
и
евклидова пространства
выполняется неравенство
Коши-Буняковского:
|
В
самом деле, для любого действительного
числа
и любых векторов
и
справедливо
неравенство:
Следовательно,
дискриминант квадратного трехчлена
(переменной
)
не больше нуля, т.е.
.
Отсюда следует (1). Заметим, что равенство
нулю дискриминанта возможно только в
случае существования такого корня
,
для которого
.
Это условие равносильно коллинеарности
векторов
и
.
Напомним, что ненулевые векторы
и
называются коллинеарными, если существует
такое число
,
что
.
Нулевой вектор считается коллинеарным
любому вектору. Неравенство Коши-Буняковского
выполняется как равенство только для
коллинеарных векторов и как строгое
неравенство для неколлинеарных.
Примеры евклидовых пространств
Определяя для элементов линейного пространства операцию скалярного произведения, получаем евклидово пространство. Если скалярное произведение можно ввести разными способами в одном и том же линейном пространстве, то и получаемые евклидовы пространства будут разными. Приведем примеры евклидовых пространств, соответствующих примерам линейных пространств.
1.
В нулевом линейном пространстве
скалярное
произведение можно определить единственным
способом, положив
.
Аксиомы скалярного произведения при
этом выполняются.
2.
В пространствах
векторы (свободные или радиус- векторы)
рассматриваются как направленные
отрезки. В курсе элементарной геометрии
вводятся понятия длины вектора и величины
угла между векторами, а затем определяется
скалярное произведение:
.
Аксиомы 1—4 для этого скалярного
произведения выполняются. Поэтому
пространства
являются евклидовыми. Неравенство
Коши-Буняковского в этом пространстве
означает, что
.
Геометрический смысл: длина проекции
не превосходит длины наклонной (катет
короче гипотенузы).
3.
В пространстве
скалярное произведение столбцов
и
можно
задать формулой:
(2)
где
—
квадратная симметрическая положительно
определенная матрица n-го порядка.
Проверим выполнение аксиом 1-4. Аксиома
1 (симметричность) выполняется в силу
симметричности матрицы
,
поскольку число при транспонировании
не изменяется, т.е.
.
Свойство линейности по первому сомножителю
для (2) выполняется:
Значит,
выполняются аксиомы 2 и 3. Аксиома 4 также
выполняется, так как квадратичная форма
положительно определенная. Таким
образом, пространство
со скалярным произведением (2) является
евклидовым пространством. В частности,
если в качестве матрицы
взять единичную матрицу, формула (2)
примет вид:
(3)
|
Это
скалярное произведение считается
стандартным
в пространстве
.
Неравенство (1) Коши-Буняковского в
«-мерном арифметическом пространстве
со
скалярным произведением (3) трансформируется
в неравенство
Коши:
Приведем
примеры формул, которые не задают
скалярного произведения в
1)
—
аксиомы 1, 4 выполняются, а аксиомы 2, 3 —
нет;
2)
—
аксиомы 1, 2, 3 выполняются, а аксиома 4 —
нет.
4.
Пространство
решений однородной системы
линейных уравнений со скалярным
произведением (3) является евклидовым
пространством.
5.
В пространстве
действительных функций, определенных
и непрерывных на данном промежутке
,
скалярное произведение можно задать
формулой:
(4)
|
В
самом деле, аксиомы 1, 2, 3 для (4) выполняются
в силу свойств определенного интеграла.
Проверим выполнение аксиомы 4. Для
ненулевой функции
,
так как, если в какой-нибудь точке
функция
,
то в силу непрерывности она отлична от
нуля в некоторой окрестности точки
,
целиком лежащей в интервале
.
Поэтому интеграл от
в
этой окрестности больше нуля.
Таким
образом, пространство
со скалярным произведением (4) является
евклидовым. Скалярное произведение (4)
считается стандартным в пространстве
.
Для разрывных функций формула (4) не
определяет скалярного произведения,
так как нарушается аксиома 4. Неравенство
(1) Коши-Буняковского в пространстве
со скалярным произведением (4)
трансформируется в неравенство
Шварца:
6.
В пространстве
многочленов с действительными
коэффициентами скалярное произведение
можно задать формулой (4), так как
многочлены являются непрерывными
функциями.
В
пространстве
многочленов
степени не выше, чем
,
зададим скалярное произведение
многочленов
и
формулой:
(5)
Выражение
в правой части (5) симметрично для
коэффициентов двух многочленов, поэтому
аксиома 1 выполняется. Аксиомы 2, 3 следуют
из линейности выражения по коэффициентам
каждого многочлена. Проверим аксиому
4. Запишем скалярный квадрат
.
Заметим, что
только при
,
т.е. в случае нулевого многочлена
.
Следовательно, формула (5) задает скалярное
произведение в пространстве
.
В
пространстве
определим произведение формулой:
(6)
В силу симметричности и линейности правой части (6) по значениям многочленов, заключаем, что аксиомы 1-3 выполняются. Проверим выполнение аксиомы 4. Приравняв скалярный квадрат нулю, получаем
Это
возможно только при
.
Из этих трех равенств не следует, однако,
что многочлен
нулевой. Например, ненулевой многочлен
удовлетворяет трем равенствам.
Следовательно, в пространстве
формула (6) не задает скалярного
произведения. Напротив, в пространстве
формула (6) определяет скалярное
произведение. Так как из равенств
следует, что многочлен степени не выше
второй тождественно равен нулю.
Длина вектора и угол между векторами в евклидовом пространстве
Длиной
(нормой) вектора
в евклидовом пространстве
называется число
.
Имея
в виду обозначение, длину
называют также модулем вектора.
Рассматривается арифметическое значение
квадратного корня, которое определено
для любого вектора из-за неотрицательности
подкоренного выражения (аксиома 4).
Поэтому каждый вектор имеет положительную
длину, за исключением нулевого, длина
которого равна нулю:
.
Углом
между ненулевыми векторами
и
евклидова пространства
называется число
то
есть
и
Представив
неравенство Коши-Буняковского (1) в виде
можно сделать вывод, что абсолютное
значение выражения
не превосходит единицы, т.е. величина
угла определена для любой пары ненулевых
векторов. Заметим, что угол между
коллинеарными векторами равен нулю или
.
Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями .
Из неравенства Коши-Буняковского (1) следует неравенство треугольника:
Докажем
последнее неравенство. Применяя оценку
,
получаем
то
есть
.
Пример
Даны векторы евклидовых пространств:
а)
—
элементы пространства
со скалярным произведением (3):
;
б)
—
элементы пространства
со скалярным произведением (2):
в)
— элементы пространства
со скалярным произведением (4):
.
г)
— элементы пространства
со скалярным произведением (5):
;
д)
— элементы пространства
со скалярным произведением (6):
В каждом пространстве найти длины двух данных векторов и угол между ними.
Решение.
а) Находим скалярные произведения:
Следовательно,
.
б) Находим скалярные произведения:
Следовательно,
.
в) Находим скалярные произведения:
Следовательно,
.
г) Находим скалярные произведения:
Следовательно,
.
д) Находим скалярные произведения:
Следовательно,
.