18. Тригонометр форма. Возведение в степень и корень.

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим числокак точку на плоскости с декартовыми координатами. Если теперь перейти к полярным координатам, то, поэтому. Уголназывается аргументом комплексного числаи обозначается:. Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных): если, например,, то значения, равныеи т.д. тоже будут соответствовать числу, поэтому значение аргумента, удовлетворяющее условиям, будем называть главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числаприменяется символ:.

Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой числа.

Число - единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.

Примеры: записать в тригонометрической форме числа ,,,,. Решение:,,,,.

В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть ,,. ТогдаВывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются. Очевидно, если, то, т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому. Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. СТЕПЕНЬ: если, то

операция извлечения корня -ой степенииз комплексного числа. По определению, любое число, такое, что, называется корнем-ой степени из числа. Пусть,. Тогда. Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому,, откуда,, при этомразличных значения корня-ой степени из числаполучаются при.

Пример: найти все значения . Числов тригонометрической форме равно. Все пять значений корня даются формулойпри. Они расположены на окружности радиуса. Значение, соответствующее, имеет аргумент, остальные расположены с интервалом по, равным, образуя правильный пятиугольник.

19. Формула эйлера. Показательная форма.

Введём следующее обозначение: для любого действительного числа суммубудем записывать как. Формуланазываетсяформулой Эйлера, она обосновывается в теории функций комплексной переменной; пока будем понимать показательную функцию в левой части этой формулы как краткую форму записи для суммы, находящейся справа. Теперь любое комплексное числоможно представить как; эта форма записи называется показательной. Введённое обозначение согласовано со свойствами показательной функции:

;

.

20. Первообразная, неопределнный, св-ва.

Функция F(x) называется первообразной для функцииf(x) на интервале[a,b](конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервалаf(x) является производной дляF(x), т.е.. Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функцииf(x) требуется найти функциюF(x), производная которой равнаf(x). Первообразная определена неоднозначно: для функциипервообразными будут и функцияarctgx, и функцияarctgx-10:. Для того, чтобы описать все множество первообразных функцииf(x), рассмотрим.Свойства первообразной. 1.Если функцияF(x) - первообразная для функцииf(x) на интервалеX, то функцияf(x) +C, гдеC- произвольная постоянная, тоже будет первообразной дляf(x) на этом интервале. (Док-во:). 2.Если функцияF(x) - некоторая первообразная для функцииf(x) на интервалеX=(a,b), то любая другая первообразнаяF₁(x) может быть представлена в видеF₁(x) =F(x) +C, гдеC- постоянная наXфункция. Док-во. Так как функцииF(x) иF₁(x) - первообразные дляf(x), то. 3.Для любой первообразнойF(x) выполняется равенствоdF(x) =f(x)dx. Из этих свойств следует, что еслиF(x) - некоторая первообразная функцииf(x) на интервалеX, то всё множество первообразных функцииf(x) (т.е. функций, имеющих производнуюf(x) и дифференциалf(x)dx) на этом интервале описывается выражениемF(x) +C, гдеC- произвольная постоянная.

Неопределённый интеграл и его свойства.

Опр.Множество первообразных функцииf(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом. Как следует из изложенного выше, еслиF(x) - некоторая первообразная функцииf(x), то, гдеC- произвольная постоянная. Функциюf(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x)dx- подынтегральным выражением.Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения: 1.. 2.(или).

Таблица неопределённых интегралов.1.2.3.(). 4.5.;. 6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.

Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4:

если x > 0, то; еслиx< 0, то.

Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций:

- интеграл Пуассона;,- интегралы Френеля;,,- интегральные синус, косинус, логарифм.