35. Инт по частям и замена в ои.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если- непрерывно дифференцируемые функции, то.Док-во. Интегрируем равенствов пределах отaдоb:. Функция в левом интеграле имеет первообразнуюuv, по формуле Ньютона-Лейбница, следовательно,, откуда и следует доказываемое равенство. Пример:. Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция: 1.определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке, 2., 3.функциянепрерывна на отрезке. Тогда.Док-во. ПустьF(x) - первообразная для функции, т.е., тогда- первообразная для функции., что и требовалось доказать. При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла. Пример:

36. Несобственные интегралы.

(несобственные интегралы первого рода). Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функцияf(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функцииf(x) отaдо и обозначается . Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.

Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от доb:и в пределах отдо:. В последнем случаеf(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку;c- произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела. Существование конечных пределов и их сумма не зависят от выбора точкиc. Очевидно следующее утверждение, которое мы сформулируем для интеграла с бесконечным верхним пределом:сходится тогда и только тогда, когда для любогоc, удовлетворяющего неравенствуc>a, сходится интеграл(док-во: так как приa<c<bпо свойству аддитивности, иотbне зависит, то конечный предел придля интеграла в левой части существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел для интеграла в правой части равенства)

(несобственные интегралы второго рода). Определение несобственного интеграла от неограниченной функции. Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Пусть функцияf(x) определена на полуинтервале (a,b], интегрируема по любому отрезку, и имеет бесконечный предел при. Несобственным интегралом отf(x) по отрезкуназывается предел. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функцияf(x) определена на полуинтервале [a,b), интегрируема по любому отрезку, и имеет бесконечный предел при. Несобственным интегралом отf(x) по отрезку [a,b] называется предел. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится.Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функцияf(x) определена на отрезке [a,b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точкеcэтого отрезка:, интегрируема по любому отрезку, не содержащему точкуc. Несобственным интегралом отf(x) по отрезку [a,b] называется. Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится.