31. Вычисление определнного интеграла. Формула нбютона – лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница. Еслинепрерывна на отрезке, и- некоторая первообразная функции, то.Док-во.Мы установили, что функция- первообразная непрерывной. Так как- тоже первообразная, то. Положим в этом равенствеx=a. Так как, то. В равенствепереобозначим переменные: для переменной интегрированияtвернёмся к обозначениюx, верхний пределxобозначимb. Окончательно,.

Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесьчитается как "подстановка отaдоb"), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так:.

Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

32. О.И. С переменным верхним пределом.

Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквойt, а буквойxобозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что- переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(х) своего верхнего предела:. Легко доказать, что еслиf(t) интегрируема, то Ф(х) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:

Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функцияf(t) непрерывна в окрестности точкиt=x, то в этой точке функция Ф(х) дифференцируема, и. Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.Док-во. Дадим верхнему пределуxприращение. Тогда

, гдеc- точка, лежащая междуxи(существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла).. Устремим. При этом(c- точка, расположенная междуxи). Так какнепрерывна в точкеt=x, то. Следовательно, существует, и. Теорема доказана. Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функцияимеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой. Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

33. Геометрический и физический смысл о.И.

Геометрический смысл определённого интеграла. еслина отрезке [a,b], торавен площади криволинейной трапецииABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямымиx=aиx=b, сверху - функцией.

Если положение точки при её движении по числовой  прямой задаётся функцией S =f(t), гдеt – время движения, то производная функцииS – мгновенная скорость движения в момент времениt. По аналогии с этой моделью вообще говорят о том, что производная функцииу =f(x) –скорость измененияфункциив точкех.

34. Св-ва о.И. Теорема о среднем.

Свойства определённого интеграла.1) ; 2) ; 3); 4); 5).

Теорема о среднем. Еслинепрерывна на отрезке, то существует точка, такая что. Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшееmи наибольшееMзначения. Тогда. Числозаключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное междуmиM. Таким образом, существует точка, такая что.

Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке, то существует точкатакая, что площадь криволинейной трапецииABCDравна площади прямоугольника с основаниеми высотой(на рисунке выделен цветом).