24. Разложение рацональной дроби. Метод неопределенных коэфф-в.

Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен в виде ,. Тогда дробьf(x) единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры

.

Неопределённых коэффициентов метод,метод, применяемый для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробьможет быть представлена в виде суммыгдеА, ВиС- коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенямих,получают: (А+В+С)х²+ (В-С)х-А= 3x²- 1. Так как последнее равенство должно выполняться для всех значенийх,то коэффициенты при одинаковых степеняхх справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов:А+В+С= 3,В-С= 0,А= 1, откудаА=В=С= 1. Следовательно,

25. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.

Для интегрирования рациональной функции , гдеP(x) иQ(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов: 1. Если дробь неправильная (т.е. степеньP(x) больше степениQ(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение. 2.Разложить знаменательQ(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений; 3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используяметод неопределенных коэффициентов; 4.Вычислить интегралы от простейших дробей.

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателяQ(x)), разделим многочленP(x) наQ(x). Получим следующее выражение:

где - правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в видегде квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

.

Общее число неопределенных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ...должно быть равно степени знаменателяQ(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменательQ(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенямиx. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентовA_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собойметод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих формул: 1. 2.У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:

26. Интегрирование простейших иррациональностей.

Интегралы вида, гдеn- натуральное число,- функция, рационально зависящая от своих аргументов. Пример такой функции -. Как видно из этого примера, к рассматриваемому типу сводятся интегралы вида, гдеp,q,r, … - рациональные числа, так как, еслиn- общий знаменатель чиселp,q,r, …, то подынтегральная функция рационально зависит отxи. Подстановкаx=t ⁿрационализирует подынтегральную функцию, т.е. сводит её к рациональной функции переменнойt. Пример:. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому применяем подстановкуx=t ⁶:

.

Интегралы вида, гдеa,b,c,d- постоянные, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в предыдущем разделе, рационализируются подстановкой. Пример:.