
- •1. Задачи, приводящие к понятию производной, о касательной, о скорости, касательной и нормали.
- •2. Общее определение производной. Различные обозначения.
- •3. Зависимость между непрерывностью и дифф. П-ры непрерывных ф-й.
- •4. Основные правила дифференцирования.
- •5. Производная сложной функции.
- •6. Неявная функция и ее дифференцирование.
- •7. Дифференцирование сложной показат ф-ии. Метод логариф дифф.
- •8. Обратная функция и ее дифференцирование, тригоном.
- •9. Параметрическое задание ф-ии.
- •10. Дифференциал.
- •11. Теоремы ролля, лагранжа, коши. Геометрическое истолкование.
- •12. Возрастание и убывание ф-ии.
- •13. Экстремумы функций.
- •14. Выпуклость и вогнутость ф-ии.
- •15. Исследование ф-и с помощью первой и второй. Общая схема.
- •16. Точки разрыва функции. Асимптоты.
- •17. Комплексные числа.
- •18. Тригонометр форма. Возведение в степень и корень.
- •19. Формула эйлера. Показательная форма.
- •20. Первообразная, неопределнный, св-ва.
- •21. Основные методы интегрирования.
- •22. Интегрирование по частям.
- •23. Рациональные дроби.
- •24. Разложение рацональной дроби. Метод неопределенных коэфф-в.
- •26. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •28. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •27. Интегрирование тригонометрических ф-й
- •29. Понятие о неберущихся интегралов.
- •30. Определенный интеграл. Понятия и определения.
- •31. Вычисление определнного интеграла. Формула нбютона – лейбница.
- •32. О.И. С переменным верхним пределом.
- •33. Геометрический и физический смысл о.И.
- •34. Св-ва о.И. Теорема о среднем.
- •35. Инт по частям и замена в ои.
- •36. Несобственные интегралы.
- •37. Геометрическое и физическое приложения ои.
- •38. Ф-я нескольких переменных. Область опред, линии уровня.
- •39. Частное и полное приращение. 1 порядка.
- •41. Производная по направлению. Градиент.
- •42. Чп высших порядков.
- •43. Макс и мин ф-и 2 переменн. Наиб и наим значения.
21. Основные методы интегрирования.
1.(
);
2.;
Примеры применения правил 1,2:
.
3.Подведение под знак дифференциала
постоянного слагаемого: если,
то
.(Док-во:
если
,
то
).
Пример:
.
4.Подведение под знак дифференциала
постоянного множителя: если,
то
.
(Док-во:
если
,
то
).
Пример:
.
Приёмы
3, 4 легко комбинируются: если
,
то
.
Пример:
.
Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).
Пусть
.
Тогда
.
Здесьt(x)
- дифференцируемая монотонная функция.
Док-вонепосредственно следует из формулы для
производной сложной функции. Перепишем
первый интеграл, заменив переменнуюxнаt:.
Это означает, что
.
Заменим независимую переменнуюtна функциюt=t(x):
.
Следовательно, функцияF(t(x))
является первообразной для произведения
,
или
.
При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.
1. Если в подынтегральной функции
удаётся сразу заметить оба сомножителя,
иf(t(x)),
и,
то замена переменной осуществляется
подведением множителя
под знак дифференциала:
,
и задача сводится к вычислению интеграла
.
Например,
(задача сведена к вычислению
,
гдеt=cosx)
(аналогично
находится интеграл от
);
(задача сведена к вычислению
,
гдеt=sinx)
.
2.Замену переменной можно осуществлять
формальным сведением подынтегрального
выражения к новой переменной. Так, вимеет смысл перейти к переменной
(сделать подстановку)t=sinx.
Выражаем все множители подынтегрального
выражения через переменнуюt:
;
в результате
(возвращаемся к исходной переменной)
.
22. Интегрирование по частям.
Интегрирование по частям - приём, который
применяется почти так же часто, как и
замена переменной. Пусть u(x)
иv(x)
- функции, имеющие непрерывные частные
производные. Тогда по формуле
дифференцирования произведенияd(uv)
=u∙dv
+v∙du.
Находим неопределённые интегралы для
обеих частей этого равенства (при этом
):
.
Эта формула и называется формулой
интегрирования по частям. Часто ее
записывают в производных (
):
.
Примеры:
.
.
Формула
интегрирования по частям может применяться
неоднократно. При наличии небольшого
опыта в простых интегралах нет
необходимости выписывать промежуточные
выкладки (u= …,dv= …), можно сразу применять формулу,
представив интеграл в виде:
.
23. Рациональные дроби.
О:
Рациональной дробью называется функция
где
—
заданные коэффициенты,
Рациональная дробь называется правильной,
если m< n, неправильной, если
Всякую неправильную рациональную дробь
можно представить в виде суммы многочлена
и правильной дроби. Действительно,
пусть
—
неправильная рациональная дробь.
Разделим числитель на знаменатель,
получим
k
< n, где
и
остаток
—
многочлены, а
—
правильная рациональная дробь.
Пример:
Таким образом,
—
остаток. Первый из этих интегралов легко
вычисляется. Для того чтобы вычислить
второй интеграл, надо подынтегральную
функцию представить в виде суммы так
называемых простейших рациональных
дробей, а затем их проинтегрировать.
Для этого рассмотрим простейшие
рациональные дроби.
Простыми
дробями называются рациональные функции
следующих четырёх типов: 1.
.
2.
.
3.
,
.
4.
,
Интегралы от дробей первых двух типов
- табличные интегралы: 1.2.
3.
(
)
приводятся к табличным выделением
полного квадрата в трёхчлене:
.
Смысл этих преобразований: слагаемоеMxв числителе превращаем
в производную получившегося знаменателя;
второе слагаемое в числителе отxне зависит. Теперь относительно переменной
интеграл свёлся к
,
где
,
.
Первый интеграл
,
второй - один из табличных интегралов
4.(
)
берутся с применением той же техники.
После приведения подынтегральной
функции к виду
относительно переменной
интеграл сводится к
.
Первый интеграл