3 КУРС (5 И 6 СЕМЕСТРЫ) / 6 СЕМЕСТР / Основы теории принятия решений / Основы теории принятия решений Степанов

Степанов В.Р. Основы теории принятия решений

Метод условного центра масс имеет довольно широкое распространение. Пусть последовательно найдены значения экстремумов для каждого показателя Wi(u), что соответствует точкам в пространстве параметров с координатами {x1i*, x2i*,..., xni*}.

Введем понятие "условной массы" точки:

где Wi(x1i*, x2i*,..., xni*) - значение i-го показателя эффективности при совокупности управляемых параметров, обеспечивающих экстремальное его значение. Будем полагать, что компромиссному решению будет удовлетворять набор параметров, соответствующих точке с координатами "условного центра масс":

Найденные по этому методу средневзвешенные значения параметров xi** учитывают не только интересы всех показателей качества, но и чувствительность каждого по отношению к данному параметру.

Завершим обзор рассмотрением метода идеальной точки в пространстве критериев. Пусть на множестве альтернатив U заданы n целевых функций W1(u),...,Wn(u). В пространстве векторных оценок рассмотрим идеальную точку x={x1,...,xn}, где xi = min(Wi(u)). Если бы точка x принадлежала множеству векторных оценок, т.е. если бы существовала альтернатива u* U такая, что Wi(u*) = xi, i = (1,...,n) то, очевидно, что u* была бы лучшей альтернативой. Однако, как правило, этого не происходит, поэтому в качестве наилучшей альтернативы предполагается выбрать такую точку, векторная оценка которой находится ближе всего к идеальной точке x.

Пусть задача сравнительной векторной оценки эффективности заключается в отыскании решения, обеспечивающего минимальное отклонение от максимальных значений двух показателей качества I1 и I2. Пусть также множество сравниваемых решений {D} отображается в следующее дискретное множество точек в пространстве показателей:

D1:(I1=4; I2=0 );D2: (I1=3; I2=1 ); D3:(I1=2; I2=2 ) ; D4: (I1=1; I2=3); D5: (I1=0; I2=4).

61

Рис. 7.1. Графическая интерпретация метода идеальной точки Сформируем координаты идеальной точки исходя из возможных максимальных

значений отдельных критериев: I идеал = (4,4) .

Далее определим евклидовы расстояния между идеальной точкой в пространстве критериев и точками, соответствующие различным вариантам решений:

ρ1 = (I1 − I1идеал )2 + (I2 − I2идеал )2 = (4 − 4)2 + (0 − 4)2 = 4 ;

ρ2 = (3 − 4)2 + (1 − 4)2 = 3,333333;

ρ3 = (2 − 4)2 + (2 − 4)2 = 2 2 ; ρ4 = 3,33333 ; ρ5 = 4 ;

Анализ расстояний позволяет определить в качестве решения, оптимального в смысле минимума евклидова отклонения от идеальной точки, решение – D3 , для кото-

рого ρ3 = min = 2 2 .

Как показано выше, ни один из перечисленных выше методов не свободен от недостатков, связанных с желанием упростить задачу и сделать ее однозначной. Однако, как правило, упрощение сложного явления, в принципе не упрощаемого, не может дать верного ответа.

Если все так сложно, то как все же взяться за структурирование альтернатив, представленных в виде критериальной таблицы? Прежде всего, заметим, что в таблице могут оказаться альтернативы, которые имеют оценки по всем критериям хуже, чем другие альтернативы. Сразу ясно, что такие альтернативы неконкурентоспособны. Их можно смело вычеркивать из таблицы. Если в таблице будут альтернативы, по всем па-

62

Степанов В.Р. Основы теории принятия решений

раметрам лучше, то на этом выбор завершен, т.к. лучшего решения предложить невозможно. После вычеркивания заведомо наихудших альтернатив, в таблице остаются только такие альтернативы, которые хотя бы по одному критерию, не хуже, чем другие. Множество таких альтернатив получило название "множество недоминируемых альтернатив", или "множество Парето".

Аксиома Парето и эффективные варианты.

Пример. Пусть U = (u,v,s,t) - множество альтернатив Таблица 7.7

k (u) ≥ k (v) для всех i, поэтому K(u) P K(v).

k (u) ≥ k (s) для всех i, поэтому K(u) P K(s), варианты s и v оказались доминируемыми, а остальные векторные оценки сравнить невозможно: k (u) N k (t) Таким образом все множество векторных оценок делится на два подмножества: эффективных {k(u),k(t)} и неэффективных { k(v), k(s)} векторных оценок. Из приведенного примера можно сделать важный вывод: если вариант имеет абсолютный максимум по какомулибо показателю, то он не может быть доминирован.

Аксиома Парето: Пусть даны две векторные оценки: K(u)= ( k1 (u), k2 (u), ... km (u)) и K(v)= ( k1 (v), k2 (v), ... km (v))

K(u) P K(v), если существует хотя бы одно j от 1 до m такое что:

i ≠ j ki (u) I ki(v), или ki (u) P ki(v), а kj (u) P kj (v).

P - "предпочтительность в смысле Парето".

Все векторные оценки, для которых не существует более предпочтительных в смысле Парето векторных оценок, образуют множество Hо эффективных векторных оценок, а соответствующие варианты - множество vо - эфективных вариантов.

Для нашего примера: H = {K(u), K(v), K(s), K(t)}, Hо = {K(u), K(t)} - множество эффективных векторных оценок. Определение множеств эффективных векторных оценок обычно не позволяет получить в чистом виде решение задачи, но является важным и обязательным этапом, так как практически всегда происходит сокращение имеющихся вариантов, кроме того, для Hо и vо могут выполняться допущения неверные для H и v, то есть задача в дальнейшем может упрощаться за счет дополнительных правил или информации после сокращения.

63

Принадлежность к vо полученного решения - некоторая гарантия правильности результата. Полученное множество оптимальных векторных оценок последовательно суживается с использованием дополнительной информации, искусственных методов или с помощью введения новых правил.

Графически множество Парето отображается в виде точек в n-мерном пространстве, оси которых соответствуют критериям оценки, а положение точек в пространстве – численным значениям оценок по данным критериям. В случае n = 2 множество Эджворта-Парето строится в декартовой системе координат. Рассмотрим типичные случаи:

Рис. 7.2. Графическая интерпретация множества альтернатив

В случае многокритериальной системы (n > 3) используется графическое отображение в виде номограмм. Для приведенного выше примера (с машинами) имеем:

Рис. 7.3. Графическая интерпретация множества альтернатив для n > 3.

64

Часто используемый в последнее время метод принятия решений – метод анализа иерархий, опирающийся на многокритериальное описание проблемы, был предложен и детально описан Саати Т. в своей работе "Принятие решений: метод анализа иерархий". Этот метод – эффективный, простой и доступный нематематику. Он используется при решении многих проблем, среди которых можно выделить такие как: профессиональный отбор, планирование эффективного обучения, распределение кадров, аттестация специалистов и продвижение персонала по службе.

Этапы метода анализа иерархий:

I.Определение проблемы. Первым этапом применения МАИ является структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (цели), через промежуточные уровникритерии (технико-экономические параметры) к самому нижнему уровню, ко-

торый в общем случае является набором альтернатив;

II.Построение иерархии - декомпозиция проблемы на простые составляющие: от проблемы через промежуточные составляющие к самому нижнему уровню -

перечню простых альтернатив. В методе используется дерево критериев, в котором общие критерии разделяются на критерии частного характера;

III. Последовательная (для каждого уровня иерархии) оценка важности альтернатив с помощью метода парных сравнений;

IV. Последовательная (для каждого уровня иерархии) оценка локальных приоритетов сравниваемых элементов. Результат сравнения оценивается по бальной шкале. На основе таких сравнений вычисляются коэффициенты важности критериев, оценки альтернатив и находится общая оценка как взвешенная сумма оценок критериев;

V. Проверка согласованности локальных приоритетов; VI. Иерархический синтез решения проблемы;

После иерархического воспроизведения проблемы устанавливаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по критериям. В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, предложенной автором метода, где оценки имеют следующий смысл:

65

Если при сравнении одного фактора i с другим j получено a(i,j) = b, то при сравнении второго фактора с первым получаем a(j,i) = 1/b.

Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:

•Какой из них важнее или имеет большее воздействие ?

•Какой из них более вероятен ?

•Какой из них предпочтительнее ?

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней (мультипликативная свертка).

Пусть: A1...An - множество из n элементов; W1...Wn - соотносятся следующим образом:

Таблица 8.2

Оценка компонент вектора приоритетов производится по схеме:

Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уров-

66

Степанов В.Р. Основы теории принятия решений

не и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует элемент.

Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

Для нашего случая всегда λmax ≥ n.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Таблица 8.4

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения. Приведенный выше материал не претендует на полноту изложения метода, а только раскрывает его суть. Из всего этого материала нам понадобятся только значения таблиц 1 и 2.

Для рассмотрения примера вернемся к ситуации покупки машины:

В одном ценовом диапазоне есть следующие предложения (газета «Из рук в руки», 2003 г.):

1.ВАЗ-21093, 1997 г/в, серебристый металлик, пробег 110 тыс. км., сигнализация, тонировка, автомагнитола, и колонки Сони, много нового, 85 тыс. руб.

2.Volvo 460 GL, 1996 г/в, снежная королева, двигатель 106 л.с., АБС, аэрбэк, салон велюр, подогрев сидений, центр. замок, пробег 67 тыс.км., 3500 у.е..

3.ГАЗ 31029, 1992 г/в, светло-серый, капремонт двигателя, кузов переварен, пробег 1000 км., 42 тыс. руб.

4.Мерседес-126/280E, 1980 г/в, зеленый, авт. кор. передач, сигнализация, автомагнитола, люк, гидроусилитель руля, пробег 185 тыс. км., 70 тыс. руб.

5.ИЖ 2717, 2002 г/в, красный, двигатель 1.8, КПП 5 ступ., пробег 19 тыс.км., газ 65 л., шипованая резина, антикор, подкрылки, музыка, теплый фургон, 88 тыс. руб.

6.Тойота-Камри, 1994 г/в, белый, правый руль, гидроусилитель руля, АКПП, двигатель 2 л., кондиционер, электростеклоподьемники, электрозеркала, центр. замок, пробег 155 тыс. км., 3800 у.е.

67

Проанализируем выбранные на предыдущем шаге варианты и сведем в одну таблицу параметры, по которым они отличаются.

Таблица 8.5

Конечно же, возможные варианты отличаются не только приведенными пара-

68

Степанов В.Р. Основы теории принятия решений

метрами. Различен перечень предлагаемых сервисов. Для упрощения примера отобраны только те, которые действительно оказывают какое-то влияние на выбор в конкретном случае.

Дополнительные критерии, естественно, могут быть и другими. В любом случае, учитывайте, что:

должна существовать возможность сбора информации по каждому дополнительному критерию для всех отобранных альтернатив; количество критериев не должно превышать 7-8, чтобы не увеличить трудоем-

кость обработки данных до неразумных пределов (при компьютерной обработке модели выбора количество как критериев, так и альтернатив не имеет ограничений.

Вся подготовительная работа проведена. Теперь на практике применим метод анализа иерархий для выбора покупаемого автомобиля. Первым шагом будет оценка критериев.

Начнем с построения матрицы попарных сравнений для критериев, т.е. со второго уровня иерархии (на первом уровне наша цель - выбор автомобиля, на третьем - аль-

тернативы). Для этого строим матрицу размерностью 6 × 6 (по числу критериев) и подпишем строки и столбцы наименованиями сравниваемых критериев.

Заполняем таблицу. Для этого попарно сравниваем критерий из строки с критерием из столбца по отношению к цели - выбору автомобиля. Значения из шкалы относительной важности (таблица 8.1) вписываем в ячейки, образованные пересечением соответствующей строки и столбца.

Например: будем считать, что при выборе автомобиля стоимость имеет значительное превосходство перед цветом. В таблице 8.1 этой оценке соответствует значение "7". Поэтому в ячейке на пересечении строки "Стоимость" и столбца "Цвет" записываем значение "7".

Очевидно, что диагональ этой матрицы будет заполнена значением "1", а ячейки, лежащие ниже диагонали будут заполнены обратными значениями. Следовательно, в ячейке на пересечении строки "Цвет" и столбца "Стоимость" записываем значение "1/5". И так далее для каждой пары критериев.

69

Cначала определяем оценки компонент собственного вектора. Так для критерия

"Стоимость" это будет:

6 (3 7 5 5 5) = 2,8462

Получив сумму оценок собственных векторов ( = 7,7128 ), вычисляем нормализованные оценки вектора приоритета для каждого критерия, разделив значение оценки собственного вектора на эту сумму. Для того же критерия "Стоимость" имеем:

2,8462 / 7,7128 = 0,369

Сравнивая нормализованные оценки вектора приоритета можно сделать вывод, что наибольшее значение придается критерию "Стоимость".

Но это еще не все с оценкой критериев. Необходимо проверить, насколько суждения были непротиворечивыми при составлении матрицы попарных сравнений критериев. Для этого необходимо рассчитать индекс согласованности для этой матрицы. Для критерия «Стоимость» считаем сумму значений столбца:

(1+1/3+1/7+1/5+1/5+1/5) = 1,07652

Это значение для каждого столбца перемножается на соответствующее значение нормализованной оценки для данного критерия:

1,07652 0,369 = 0,3972

Считаем сумму полученных значений

λmax = (0,3972 + 1,2824 + 0,9 + 1,1213 + 1,4387 + 1,7359) = 6,8755

Находим индекс согласованности (ИС) для n = 6 (по количеству критериев)

70