3 КУРС (5 И 6 СЕМЕСТРЫ) / 6 СЕМЕСТР / Основы теории принятия решений / Теория принятия решений Орлов

xij0 = (xij − x j ) / s(x j ), yi0 = ( yi − y) / s( y),

где

В дальнейшем изложении будем считать, что рассматриваемые переменные пронормированы описанным образом, и верхние индексы 0 опустим. Для облегчения демонстрации основных идей примем достаточно естественные предположения.

1. Для рассматриваемых переменных существуют следующие пределы:

2.Количество опытов n таково, что можно пользоваться асимптотическими результатами, полученными при n → ∞ .

3.Погрешности измерения удовлетворяют одному из следующих типов ограничений:

Тип 1. Абсолютные погрешности измерения ограничены согласно (48):

Тип 2. Относительные погрешности измерения ограничены:

| xij |≤ δ jx | xij | (i = 1,2,..., n, j = 1,2,..., m), ,| yi |≤ δ y | yi | (i = 1,2,..., n).

Тип 3. Ограничения наложены на сумму погрешностей:

(поскольку все переменные отнормированы, т.е. представляют собой относительные величины, то различие в размерности исходных переменных не влияет на возможность сложения погрешностей).

Перейдем к вычислению нотны оценки МНК. Справедливо

Тип 2 (относительные погрешности измерения ограничены). Аналогично получим:

Предположим, что |Δbk*| достигает максимального значения при таких значениях погрешностей Δxij и Δyi, которые мы обозначим как:

Ввиду линейности последнего выражения и выполнения ограничения типа 3:

сформулировать следующую задачу, которая разделяется на m типовых задач оптимизации:

Следовательно, необходимо решить nm задач

Сформулирована типовая задача поиска экстремума функции. Она легко решается. Поскольку

то максимальное отклонение МНК-оценки k-ого параметра равно

Кроме рассмотренных выше трех видов ограничений на погрешности могут представлять интерес и другие, но для демонстрации типовых результатов ограничимся только этими тремя видами.

Оценивание линейной корреляционной связи. В качестве примера рассмотрим оценивание линейной корреляционной связи случайных величин у и х1 , х2..., хm с нулевыми математическими ожиданиями. Пусть эта связь описывается соотношением:

m

y = åbj x j + e,

j =1

где b1 , b2 ,..., bm - постоянные, а случайная величина е некоррелирована с х1 , х2..., хm. Допустим, необходимо оценить неизвестные параметры b1 , b2 ,..., bm по серии независимых испытаний:

m

yi = å bj xij + ei , (i = 1,2,..., n).

j=1

Здесь при каждом i = 1,2,…,n имеем новую независимую реализацию рассматриваемых случайных величин. В этой частной схеме оценки наименьших квадратов b1*R , b2*R ,…, bm*R параметров b1, b2 ,..., bm являются, как известно, состоятельными [45].

Пусть величины х1 , х2..., хm в дополнение к попарной независимости имеют единичные дисперсии. Тогда из закона больших

чисел [45] следует существование следующих пределов (ср. предположение 1 выше):

где σ - среднее квадратическое отклонение случайной величины е.

удовлетворяющими ограничениям типа 1, тогда максимальное приращение величины |Δb*k|, как показано выше, равно:

Перейдем к предельному случаю и выпишем выражение для нотны:

Приведенное выше выражение для максимального приращения метрологической погрешности не может быть использована в случае m = 1. Для m = 1 выведем выражение для нотны, исходя из

соотношения:

Следовательно, нотна выглядит так:

Nf=M{|2xb* – y|}Δx+M{|x|}Δy .

Для нахождения рационального объема выборки необходимо сделать следующее.

Этап 1. Выразить зависимость размеров и меры области рассеивания Bα(n,b) от числа опытов n (см. выше).

Этап 2. Ввести меру неопределенности и записать соотношение между статистической и интервальной неопределенностями.

Этап 3. По результатам этапов 1 и 2 получить выражение для рационального объема выборки.

Для выполнения этапа 1 определим область рассеивания следующим образом. Пусть доверительным множеством Bα(n,b) является m-мерный куб со сторонами длиною 2K, для которого

P(b Bα (n,b *R )) = α ..

Исследуем случайный вектор b* и

b*R = (X RT X R )− 1 X RT YR = ( X RT X R )− 1 X RT ( X R b + e) =

= (X RT X R )− 1 X RT X R b + (X RT X R )− 1 X RT e = b + (X RT X R )− 1 X RT e.

Как известно, если элементы матрицы А = {аij} -случайные, т.е. А – случайная матрица, то ее математическим ожиданием является матрица, составленная из математических ожиданий ее элементов, т.е. М{А} = {М{аij}}.

Утверждение 1. Пусть А = { аij } и В = { bij } - случайные матрицы порядка (m х n) и (n х r) соответственно, причем любая пара

их элементов (аij, bkl) состоит из независимых случайных величин. Тогда математическое ожидание произведения матриц равно произведению математических ожиданий сомножителей, т.е. M{AB} = M{A} M{B}.

Доказательство. На основании определения математического ожидания матрицы заключаем, что

Утверждение 2. Пусть А = {аij} и В = {bij} - случайные матрицы порядка (m х n) и (n х r) соответственно. Тогда математическое ожидание суммы матриц равно сумме математических ожиданий слагаемых:, т.е. М{А+В} = М{А} + М{В}.

Доказательство. На основании определения математического ожидания матрицы заключаем, что

M{А+В} = {М{аij+bij}} = {М{аij} + М{bij}} =M{A} + M{B},

что и требовалось доказать.

Найдем математическое ожидание и ковариационную матрицу вектора b* с помощью утверждений 1, 2 и выражения для b*R , приведенного выше. Имеем

M{b*R } = b + M{(X RT X R )− 1 X RT e} = b + M{(X RT X R )− 1 X RT }× M{e}. Но так как M{ e } = 0, то M {b*R} = b . Это означает что оценка МНК является несмещенной.

Найдем ковариационную матрицу: