1. Систему {, , 0 } исследуем на полноту.
Построим таблицу истинности предложенных функций и по ней проведем исследование
|
a |
b |
a b |
a b |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Из таблицы истинности очевидно, что { , 0}K0 и {} K0, а { , }K1 и {0} K1.
Все три функции из системы {, , 0} не являются самодвойственными, т.к. для них можно указать нарушение этого свойства. Например 00=1, а на противоположном наборе 11=1 функция имеет тоже значение. Для функции { } противоположные наборы 01 и 10 дают одинаковые значения. Для константы 0 обе пары противоположных наборов дают одинаковые значения.
Свойство монотонности соблюдается для функций { , 0}, но не для {}, т. к. наборы 00 и 01 связаны соотношением 00 < 01, но (0, 0) > (0, 1).
Проверим линейность исследуемых функций.
Предположим, что 0(a, b) линейна, тогда она должна быть представима в виде
0(a, b) = c0 c1 a c2 b
Найдем неизвестные коэффициенты разложения, зная таблицу истинности функции.
0(0, 0) = c0 c1 0 c2 0 = c0 = 0
0(0, 1) = c0 c1 0 c2 1 = c0 c2 = 0 c2 = c2 = 0
0(1, 0) = c0 c1 1 c2 0 = c0 c1 = 0 c1 = c1 = 0
Проверим правильность найденных коэффициентов
0(1, 1) = c0 c1 1 c2 1 = 0 0 0 = 0, что совпадает со значением в таблице истинности. Наше предположение о линейности функции {0} подтвердилось.
Следовательно, функция {0} L.
Продолжим исследование. Предположим
(a, b) = c0 c1 a c2 b
(0, 0) = c0 c1 0 c2 0 = c0 0 0 = c0 = 1
(0, 1) = c0 c1 0 c2 1 = 1 0 c2 = 1 c2 = 0, следовательно, c2 = 1
(1, 0) = c0 c1 1 c2 0 = 1 0 c1 = 1 c1 = 0, следовательно, c1 = 1
Проверим правильность найденных коэффициентов
(1, 1) = c0 c1 1 c2 1 = 1 1 1 = 1, что совпадает со значением в таблице истинности. Наше предположение о линейности { } подтвердилось.
Следовательно, функция { } L.
Рассмотрим функцию { }. Предположим, что
(a, b) = c0 c1 a c2 b
(0, 0) = c0 c1 0 c2 0 = c0 0 0 = c0 = 0
(0, 1) = c0 c1 0 c2 1 = 0 0 c2 = 0 c2 = 0, следовательно, c2 = 0
(1, 0) = c0 c1 1 c2 0 = 0 0 c1 = 0 c1 = 0, следовательно, c1 = 0
Проверим правильность найденных коэффициентов
(1, 1) = c0 c1 0 c2 0 = 0 0 0 = 0, что не совпадает со значением в таблице истинности. Наше предположение о линейности { } не подтвердилось. Следовательно, функция { } L.
Построим таблицу принадлежности классам K0, K1, S, M и L.
|
Классы |
K0 |
K1 |
S |
M
|
L
|
|
0 |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
|
|
- |
+ |
- |
- |
+ |
|
|
+ |
+ |
- |
+ |
- |
|
{, , 0} |
- |
- |
- |
- |
- |
В соответствии с критерием Поста – Яблонского система {, , 0} не содержится целиком ни в одном из пяти классов K0, K1, S, M и L, следовательно, она полна.