1 / UMKD_Guseva_Diskretnaya_matematika_2008 / Lekcii / Lekciya_16

Дискретная математика: Математическая логика

Лекция 16

Теория математических доказательств.

Косвенные доказательства

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса. Оно особенно ценно и незаменимо в принятии фундаментальных понятий и положений математики, например, понятия актуальной бесконечности, которое никак иначе ввести невозможно.

Не имея, в силу ряда причин (недоступность объекта исследования, утрата реальности его существования и т.п.) возможности провести прямое доказательство истинности какого-либо утверждения, тезиса, строят антитезис. Убеждаются, что антитезис ведет к противоречиям, и, стало быть, является ложным. Тогда из факта ложности антитезиса делают - на основании закона исключенного третьего (a v ) - вывод об истинности тезиса.

Известны следующие схемы косвенных доказательств:

доказательство от противного, доказательство через контрпример.

Доказательство «от противного» в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений. Дана последовательность формул G и отрицание A (G , A). Если из этого следует B и его отрицание (G , A, B, , не-B), то можно сделать вывод, что из последовательности формул G вытекает истинность A. Иначе говоря, из ложности антитезиса следует истинность тезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы в классической логике и законе двойного отрицания .

Доказательство утверждения A проводится следующим образом.

1. Сначала принимают предположение, что утверждение A неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B, которое заведомо неверно.

2. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A.

Пример 1. Доказательство от противного

Доказать равносильность формул

Доказательство

1. Предположим, что это не так, что формулы не равносильны, т.е. .

2. Тогда, должно найтись P(x) и Q(x) такие, что равносильность не выполняется. В этом случае, возможно три варианта:

P(x) и Q(x) оба тождественно истинные,

P(x) –тождественно истинная, а Q(x) - нет,

P(x) и Q(x) оба не тождественно истинные.

3. Рассмотрим случай 2а. P(x) и Q(x) оба тождественно истинные

P(x)	Q(x)	P(x) &Q(x)
Тожд. истинные	Тожд. истинные	Тожд. истин.	1	1	1	1

Рассмотрим случай 2b. P(x) –тождественно истинная, а Q(x) - нет

P(x)	Q(x)	P(x) &Q(x)
Тожд. истиные	0	0	1	0	0	0
Тожд. истиные	1	1	1	0	0	0

Рассмотрим случай 2c. P(x) и Q(x) оба не тождественно истинные

P(x)	Q(x)	P(x) &Q(x)
0	0	0	0	0	0	0
0	1	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0

Во всех трех случаях, обе формулы принимают одинаковые значения при одинаковых условиях, следовательно, наше предположение о неравносильных формулах было неверным.

4. Следовательно, указанные формулы равносильны.

Ч.т.д.

Пример 2. Доказательство от противного

Доказать общезначимость формулы

Доказательство

1. Предположим, что это не так, что формула не общезначима, т.е. должно найтись P(x) и Q(x), такие, на которых формула равно 0.

2. Тогда,

Таким образом, мы получили тождественно истинное высказывание для любых R(x) и Q(x).

3. Следовательно, наше предположение об отсутствии общезначимости было неверным, и наша формула – общезначима.

Ч.т.д.

Доказательство через контрпример строятся по другой схеме.

1. Сначала принимают предположение, что утверждение A верно, а затем рассматривается особый случай – контрпример, при котором данное утверждение A неверно.

2. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение.

Пример 3. Использование контрпримера

Исследовать, является ли формула общезначимой

Решение

1. Предположим, что формула общезначима. Тогда она тождественно истинная для любой области.

2. Приведем контрпример. Положим, , оба не тождественно истинные. Тогда

- тождественно истинное высказывание,

- тождественно ложное высказывание.

3. Правая и левая части формулы не равны между собой. Это означает, что мы получили противоречие и на данном контрпримере рассматриваемая формула ложна.

4. Следовательно, наше предположение об общезначимости было неверным.

5. Значит, рассматриваемая формула не является общезначимой.

Литература

1. Капитонова Ю.В. и др. Лекции по дискретной математики СПб.: БХВ-Петербург, 2004.- 624с.

2. www.wikipedia.org

4