Распространение гауссова пучка в свободном пространстве
R1 R2 |
q1 q2 |
z1 z2 |
z1 z2 |
R(z2 ) R(z1 ) z |
q(z2 ) q(z1 ) z |
При распространении гауссова пучка в пространстве выражение для изменения комплексного параметра аналогично выражению для изменения радиуса кривизны волнового фронта сферической волны
Прохождение гауссова пучка через линзу и отражение от зеркала
а |
б |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
, W W , |
|
2i |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2i |
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kW |
|
|
|
|
kW |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
R R f |
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
q R |
|
2 |
|
q R |
||||||||||||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
, |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
q |
q |
|
R |
R |
q |
q |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При прохождении гауссова пучка через линзу и при отражении от зеркала выражение для изменения комплексного параметра аналогично выражению для изменения радиуса кривизны волнового фронта сферической волны
Устойчивость резонатора
В устойчивом резонаторе при попеременном отражении от зеркал происходит такая фокусировка распространяющегося в нем излучения, что энергия излучения не выходит из резонатора. В неустойчивом резонаторе гауссов пучок не фокусируется, и при каждом проходе существенная доля энергии излучения выходит из резонатора.
R1 |
|
|
|
R2 |
|
||||
|
|
|
q1 |
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
q4 |
q3 |
|
|
|
R1(2) |
- коэффициенты отражения зеркал |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q5
L
Условие устойчивости резонатора: распределение поля в устойчивом резонаторе должно сохраняться, то есть величина q должна оставаться Неизменной после двойного прохода (q1=q5)
Устойчивость резонатора
На поверхности зеркала 1:
q q1
После прохода через резонатор на поверхности зеркала 2 :
q2 q1 L
После отражения от зеркала 2:
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
, |
f |
R2 |
|
q |
q |
f |
(q L) |
R |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
После прохода в обратном направлении на поверхности зеркала 1 :
q4 q3 L
После отражения от зеркала 1 (после двойного прохода через резонатор):
1 1 1 1 2 q5 q4 f q4 R1
Устойчивость резонатора
Окончательное выражение для связи комплексных параметров:
q5 |
|
|
|
|
|
R2 R1 (2L q1 ) 2R1L(L q1 ) |
|
|
q1 |
||||||
R2 |
(R1 |
2L) 2(R1 R2 )(q1 L) 4L(q1 L) |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Решение относительно q1 имеет вид: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
i |
R2 2L)R1 1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(R1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
q1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
R1 |
R1 |
(R2 L)L |
|
|
|
||||
Комплексная часть решения должна быть положительной, что приводит к системе уравнений:
(R1 R2 2L)R1 1 (R2 L)L
(R1 R2 2L)R2 1 (R1 L)L
Устойчивость резонатора
Условие устойчивости резонатора:
0 (1 |
L |
)(1 |
L |
) 1, g |
|
1 |
L |
, |
0 g g |
|
1 |
|
|
i |
|
2 |
|||||||
|
R1 |
R2 |
|
Ri |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Диаграмма устойчивости:
Область устойчивых резонаторов заштрихована. Границы заштрихованной области соответствуют неустойчивым резонаторам.
Точка А – концентрический резонатор Точка В – конфокальный резонатор Точка С – плоскопараллельный резонатор
Устойчивость резонатора
Точка |
Тип резонатора |
Радиус |
Длина |
Характеристики |
диаграммы |
|
зеркал |
резонатора |
|
А |
Концентрический |
R1=R2=R |
L=2R |
Небольшой |
|
|
|
|
размер пятна в |
|
|
|
|
центре резонатора. |
|
|
|
|
Большая |
|
|
|
|
чувствительность к |
|
|
|
|
несоосности зеркал |
В |
Конфокальный |
R1=R2=R |
L=R |
Небольшой размер |
|
|
|
|
пятна в центре |
|
|
|
|
резонатора. Простой |
|
|
|
|
спектр частот мод |
С |
Плоскопараллельный |
R1=R2=∞ |
Любая |
Большой попереч- |
|
|
|
|
ный размер пучка. |
|
|
|
|
Большая |
|
|
|
|
чувствительность к |
|
|
|
|
несоосности зеркал |
|
|
|
|
|
Параметры гауссова пучка
Размеры гауссова пучка на зеркалах:
|
|
2R |
2 |
|
(R L)L |
||
|
|
|
|
||||
W1(2) |
4 |
|
|
1(2) |
|
|
2(1) |
|
|
k |
L)(R1 R2 L) |
||||
|
|
|
|
(R1(2) |
|||
Параметры гауссова пучка
Нахождение положения и размера перетяжки
|
z1 |
|
z2 |
L |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
z |
|
L(R2(1) L) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(2) |
|
R R L |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
( z ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W12 W02 1 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
L)(R2 L)(R1 R2 L) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
L(R1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
W0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(R1 R2 2L) |
|||||||||||||
W2 |
2 |
W0 |
2 1 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для конфокального резонатора: |
W |
2 |
|
λL , W |
2 λL , |
z |
L |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
1(2) |
|
|
|
|
π |
0 |
|
2π |
1(2) |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для концентрического резонатора: |
W |
2 |
|
|
|
|
λR |
, W 2 |
|
λ |
L(2R L), |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1(2) |
|
|
|
π |
2R / L 1 |
0 |
|
2π |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1(2) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эквивалентный конфокальный резонатор
ЭКР – резонатор, в котором поверхности равной фазы совмещены с поверхностями зеркал исследуемого резонатора. ЭКР используется для оценки приблизительного уровеня дифракционных потерь и пространственных характеристик гауссовых пучков
Радиус кривизны ЭКР: |
RЭКР LЭКР 2L |
g1g2 (1 g1g2 ) |
|
|||
g1 |
g2 |
2g1g2 |
||||
|
|
|||||
|
|
|
πW 2 |
|
L |
|
|
|
|
0ЭКР |
|
|
|
Расположение зеркал ЭКР: |
z1(2) |
|
|
|
|
|
λ |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
g |
|
|
|
Число Френеля ЭКР: |
N1(2) |
|
1(2) |
1(2) |
(1 g g |
|
) |
|
|
|
|
2 |
|||||
|
ЭКР |
|
λL |
|
g2(1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||