Решение. 1) Построение статистического распределения выборки.

Данную выборку преобразуем в вариационный (интервальный ряд). Для этого диапазон изменения случайной величины X в выборке делим на интервалов. Число интерваловопределяется по эмпирической формулес округлением до ближайшего целого. В нашем случае объем выборки, поэтому

Ширину каждого интервала можно вычислить по формуле

,

где и- наибольший и наименьший элементы выборки. Величинадолжна выбираться с точностью выборки и округляться в сторону завышения

Границы интервалов вычисляются по формулам

Для каждого интервала подсчитываем количество попавших в него элементов. Если элемент совпадает с границей двух соседних интервалов, то его следует отнести к интервалу с меньшим номером.

Вычисляем относительные частоты интервалов

На основании полученных результатов заполняем первые четыре столбца таблицы 2.

Таблица 2

№ интервала	Границы интервалов
1	(64,00;65,08)	6	6/60	64,540	-3	0,09
2	(65,08;66,16)	8	8/60	65,620	-2	0,12
3	(66,16;67,24)	11	11/60	66,700	-1	0,17
4	(67,24;68,32)	12	12/60	67,780	0	0,19
5	(68,32;69,40)	11	11/60	68,860	1	0,17
6	(69,40;70,48)	7	7/60	69,940	2	0,11
7	(70,48;71,56)	5	5/60	71,020	3	0,08

2) Оценка среднего значения и дисперсии случайной величины .

Математическое ожидание можно оценить, взяв среднее арифметическое чисел из таблицы 1:

.

Исправленная дисперсия может быть вычислена по формуле

, где .

Эти формулы целесообразно использовать, если объем выборки невелик, или все статистические данные внесены в компьютер (например, в программу Excel). При выполнении расчетов вручную используется иная методика, которая требует меньших вычислений.

В случае выборки большого объема среднее значение случайной величины X удобно вычислить по формуле

(1)

где - середина соответствующего интервала

Для дисперсии получаются формулы следующего вида

, где

, (2)

наконец, исправленное среднее квадратическое отклонение.

Дополнительного упрощения расчетов можно добиться, если перейти от величин к величинампо формуле

(3)

Величину выберем следующим образом:

, если – четное,

, если – нечетное.

При таком выборе формулы перехода величины будут принимать последовательные целые значения, близкие к нулю.

Пользуясь свойствами дисперсии и математического ожидания, можно получить формулы, выражающие ичерез соответствующие характеристики случайной величины, аналогичные формулам (1,2).

Таким образом, при решении пункта 3 настоящей задачи будем действовать в следующем порядке

1. Вычислим значения и запишем их в 5 столбец таблицы 2.

2. В нашем случае .

3. В 6 столбец таблицы 2 заносим числа –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, которые получаются из значений по формуле (3).

4. Вычисляем значения ипо формулам

3) Построение гистограммы относительных частот.

Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны.

Высоты прямоугольников записываем в 7 столбец таблицы 2. Диаграмма, построенная по данным таблицы 2, показана на рисунке.

Если теперь середины верхних сторон прямоугольников соединить плавной линией, то эта линия будет аналогом плотности распределения случайной величины – эмпирическим законом распределения