Определение коэффициента поверхностного натяжения зондовым методом

Цель: измерить длину капиллярно-гравитационных волн при заданных частотах и рассчитать коэффициент поверхностного натяжения.

Введение

Коэффициентом поверхностного натяжения  называется свободная энергия, приходящаяся на единицу поверхности жидкости.

Если жидкость вывести из состояния равновесия, то силы тяжести и силы поверхностного натяжения будут стремиться возвратить её в исходное состояние. Силы тяжести стремятся совместить поверхность жидкости в горизонтальной плоскости (точнее, расположить по сфере, центр которой находится в центре Земли). Силы поверхностного натяжения стремятся сократить площадь поверхности жидкости. Выведенная из состояния равновесия жидкость приобретает в полях силы тяжести и сил поверхностного натяжения некоторую потенциальную энергию. На поверхности жидкости возникают капиллярно-гравитационные волны.

Если пренебречь некоторыми свойствами реальной жидкости и рассматривать волны длиной  и малой амплитуды в глубокой жидкости (h >> , где h — глубина), то можно найти простое выражение для скорости распространения капиллярно-гравитационных волн.

Воспользуемся результатами гидродинамики несжимаемой жидкости. В плоской бегущей синусоидальной волне малой амплитуды каждая частица жидкости движется по окружности, расположенной в вертикальной плоскости, проходящей через направление волны. Радиус окружности r мал по сравнению с длиной волны  и убывает экспоненциально при удалении от поверхности жидкости. Амплитуда колебаний частиц жидкости на глубине, близкой к длине волны, примерно в 500 раз меньше, чем на поверхности (сравниваются частицы с одинаковой координатой положения равновесия).

Допустим, что частицы, расположенные вдоль некоторой прямой на поверхности жидкости, совершают гармонические колебания. Тогда по поверхности жидкости перпендикулярно к этой прямой со скоростью c будет распространяться капиллярно-гравитационная волна.

Рассмотрим явление в системе отсчёта, равномерно движущейся со скоростью c в направлении распространения волн. В этой системе волны будут неподвиж­ны, движение частиц будет складываться из равномерно-поступательного со скоростью c и равномерного вращения частиц по окружности радиуса r. Так как радиус мал по сравнению с длиной волны , то можно пренебречь горизонтальными колебаниями частицы. Направим ось x введенной подвижной системы отсчёта по невозмущённой по­верхности в сторону распространения волны, а ось z — вертикально вниз (в глубину жидкости). Тогда движение частиц будет представлено уравнениями

Форма траекторий частиц — синусоида

(3.1)

Частицы, расположенные в глубине жидкости, движутся в выбранной системе отсчёта также по синусоидам, но для них r экспоненциально убывает с глубиной.

На рис.3.1 синусоида ABD представляет траекторию частицы на поверхности жидкости, синусоида ABD — траекторию бесконечно близкой к ней частицы в глубине жидкости. Течение жидкости в избранной системе отсчёта стационарно, поэтому можем применить уравнение Бернулли к трубке тока, ограниченной поверхностями синусоид.

В выбранной системе отсчёта скорость частиц на гребне равна c  u, где u — линейная скорость движения по окружности, а скорость частиц во впадине c  u. Разность высот частиц на гребне и во впадине составляет 2r. Линейную скорость вращения можно вычислить из соотношения u = 2rc / .

Рис.3.1

Уравнение Бернулли для выбранной трубки тока имеет вид

(3.2)

откуда

(3.3)

где  — плотность жидкости, g — гравитационное ускорение. Давление жидкости в точках А и В можно вычислить по формуле Лапласа

(3.4)

где p₀ — давление под невозмущённой плоской поверхностью жидкости,  — коэффициент поверхностного натяжения, R₁ и R₂ — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных нор­мальных сечений. Одним сечением будет прямая (вдоль оси y), т.е. R₁ = ; радиус R₂ второго сечения найдём, дважды продифференцировав формулу (3.1) по x:

В выражении (3.4) учтено положение точек А и В на гребне и во впадине соответственно.

Подставив равенства (3.4) в выражение (3.3) с учётом выражений для R₂ и u, получим формулу фазовой скорости распрост­ранения капиллярно-гравитационных волн:

(3.5)

Из равенства (3.5) видно, что фазовая скорость зависит от длины волны, т.е. капиллярно-гравитационные волны обладают дисперсией.

Можно рассмотреть два предельных случая. Для длинных волн

т.е.

В этом случае вклад сил поверхностного натяжения в образование волн на поверхности жидкости много меньше вклада силы тяжести. Такие волны называются гравитационными. Их фазо­вая скорость

В случае коротких волн преобладает действие сил поверхнос­тного натяжения. Эти волны называются капил­лярными. Их фазовая скорость

Выражение коэффициента поверхностного натяжения  мож­но получить исходя из формулы (3.5) и выражения  = c / :

(3.6)

В данном эксперименте удобно измерить  / 2, поэтому окон­чательная расчётная формула для коэффициента поверхностного натяжения будет иметь вид

(3.7)