методички Физика / Обработка результатов физических измерений (v2) _ 1Вечер

Обработка результатов физических измерений1

О.Л. Курнявко

Понятие об измерении

Необходимо различать качественные и количественные методы исследования. В основе количественных методов исследования лежит понятие измерения. Измерение - процесс сопоставления данному свойству числа. Измерение производится путем сопоставления данного свойства с эталонным свойством. На практике этот процесс осуществляется с использованием измерительных приборов, т.е. устройств, позволяющих непосредственно отсчитывать значения измеряемой величины, используя шкалу прибора или его устройство индикации.

Различаются прямые и косвенные измерения. Прямое измерение – процесс получения значения физической величины, при котором искомое значение получают путем непосредственного отсчета числа делений шкалы (или фиксации цифровых показаний в случае цифровых приборов) измерительного прибора. Косвенное измерение - процесс получения значения физической величины, заключающийся в его вычислении на основе данных прямого измерения значений некоторого количества величин, связанных с данной величиной некоторой функциональной зависимостью. Например, измерение длины и ширины прямоугольника с помощью линейки – это прямые измерения, а последующее нахождение его площади по формуле = , где , и есть длина, ширина и площадь соответственно – это косвенное измерение; измерение напряжения и силы тока на некотором участке цепи с помощью вольтметра и амперметра соответственно – это прямые измерения, а последующее нахождение сопротивления данного участка по формуле= / , где , и есть напряжение, сила тока и сопротивление на данном участке соответственно

– это косвенное измерение.

Понятие о погрешностях

В силу объективных причин измерения физических величин не могут быть выполнены однозначно, т.е. каждому измерению соответствует некоторая погрешность или ошибка. Более корректным является термин неопределенность измерения. Природа понятия ошибки измерения заключается в том, что с одной стороны для получения достоверных данных необходимо проводить не одно, а серию измерений в одних и тех же условиях, а с другой в том, что измерение одной и той же величины в одних и тех же условиях, производимое двумя равно квалифицированными исследователями с помощью одних и тех же измерительных приборов, не приводит в общем случае к одним и тем же результатам. Традиционно в литературе об ошибке измерения говорят как об отклонении измеренного значения величины от ее истинного значения. Это не вполне корректное утверждение, т.к. экспериментатор не имеет в своем распоряжении истинного значения данной величины. Понятие об истинном значении, конечно же, можно ввести, но по сути это никак не проясняет природу существования ошибок измерения. Причины, препятствующие этому можно разделить на две категории: причины принципиальные и причины технические.

К принципиальным причинам появления погрешностей относятся следующие:

1Начало работы: 20.02.2012 ОмГУ им. Ф.М. Достоевского, физ. факультет

1

невозможность однозначно поставить в соответствие рассматриваемому свойству определенное значение физической величины; например, измерение длины стола невозможно произвести однозначно, т.к. учитывая, что стол не имеет идеальной геометрической формы, то протяженность его большей стороны различна в разных точках стола, т.е. невозможно корректно ответить на вопрос его протяженность в какой точке необходимо считать длинной стола;

наличие факторов, которые невозможно контролировать; действительно, для проверки соответствия теоретической модели и эксперимента, необходимо провести серию измерений некоторых величин, которые должны быть проведены в одних и тех же начальных условиях; однако для того, чтобы зафиксировать условия измерений в общем случае требуется контролировать бесконечное число параметров, а значит, если мы фиксируем условия измерения ограниченным набором параметров, то остальные в принципе могут различаться, оказывая «неучтенное» влияние на результат измерения.

Принципиальные причины приводят к появлению так называемых случайных погрешностей.

Ктехническим причинам появления погрешностей относят следующие:

ограниченная чувствительность прибора, обусловленная его устройством;

грубость шкалы и проблема округления.

Технические причины приводят к появлению так называемых приборных или инструментальных погрешностей.

Статистические характеристики измерений

Среднее значение серии измерений

= 1 + 2 + 3 + +

Погрешность (абсолютная погрешность) отдельного измерения

∆ = −

Среднеквадратичная погрешность (стандартное отклонение) отдельного измерения

Стандартное отклонение отдельного измерения имеет следующий смысл: в некоторой последующей достаточно большой серии измерений вероятность того, что модуль значения ∆ не превышает(или, что то же самое, что значение лежит в пределах от − до + ), составляет 0,67 (т.е. 67%). Иначе говоря, если величина измерена, например, 100 раз, то около 67 случаев будет таких, что − < < + .

2

Среднеквадратичная погрешность (стандартное отклонение) среднего значения

Если провести несколько серий измерений, по измерений в каждой серии, то мы обнаружим, что в каждой серии средние величины будут разными. Обозначим эти величины как , где означает номер серии. Таким образом, сама оценка является случайной величиной, следовательно, для нее мы можем рассчитать среднеквадратичное отклонение . На самом деле в этом нет необходимости, так как в теории ошибок показано, что величину можно оценить по результатам одной серии из измерений:

Стандартное отклонение среднего значения имеет следующий смысл: если проведено достаточно большое число серий измерения некоторой величины и каждая из этих серий содержит одинаковое достаточно большое число отдельных измерений, то вероятность того, что среднее арифметическое некоторой серии отличается от истинного значения (т.е. среднего по набору серий) не более чем на , составляет 0,67 (т.е. 67%).

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Стандартное отклонения задает интервал ( − , + ), в который с вероятностью 67% попадет каждое следующее измерение. Вероятность, с которой измерение попадает в данный интервал, называется стандартной доверительной вероятностью, а сам указанный интервал называется доверительным интервалом на заданном уровне вероятности.

На практике часто возникает необходимость скорректировать доверительный интервал таким образом, чтобы вероятность попадания следующего измерения была выше или ниже стандартной доверительной вероятности. Для этого существует так называемый коэффициент Стьюдента , , где– значение доверительной вероятности, а – число измерений в данной серии. С помощью данного коэффициента можно найти границы искомого интервала ( − , + ), где = , - отклонение от среднего значения на уровне доверительной вероятности .

Величина , определяющая доверительный интервал для измеряемой величины , называется ее

абсолютной погрешностью измерения на уровне доверительной вероятности . Величина,

= ,…

Измерение объема цилиндра

Оборудование

Дополнение №1. Распределение Стьюдента

5