7.2 Теоретико-множественное описание систем

Данный подход является одним из наиболее общих, поэтому он также носит название канонического подхода.

Термин «канон» в переводе с греческого означает набор норм, правил, которые стали общепринятыми или догмами.

Математика множеств

Множество М – это объединение в одно целое вполне различимых частей. Части множества называют объектами или элементами множества М. Обозначение множества M = {m₁, m₂ …}.

Объект m принадлежит множеству M, если он перечислен при определении множества. Обозначается это как m M.

Множество индексов – это подмножество целых чисел, нумерующих элементы множества. Обозначается как I = {1, 2, … N}.

В результате множество можно обозначить в виде

M = {m_i: I I}.

Множество M₁ называют подмножеством M, если для любого m M₁ верно, что m M. Обозначается это как M₁ M.

Семейство, семейство множеств или множество множеств – это множество, элементами которого являются другие множества. Обозначается это как

= {M_k: k K}.

Декартово произведение множеств (Рене Декарт, французский математик 1596-1650 гг.) рассмотрим на примере.

Пример

Имеем 3 множества: А, В и С.

А = {a₁} В = {b₁, b₂} С = {c₁, c₂, c₃}

Найдем их декартово произведение, которое обозначается как

M = A x B x C.

Результат декартово произведения – это семейство, элементы которого представляют собой всевозможные упорядоченные комбинации объектов, взятых из множеств А, В и С

M = {(a₁, b₁, c₁), (a₁, b₁, c₂), (a₁, b₁, c₃) … ( a₁, b₂, c₃)}.

Упорядоченность говорит о том, что элемент множества всегда А стоит на первом месте, элемент множества В на втором, а элемент С – на третьем.

Функция или отображение множества А в множество B – это правило, ставящее в соответствие элементу множества А элемент множества В.

Обозначается как F: А → В.

Каноническое определение системы

Пусть задано семейство объектов системы

,

где V_i – объект системы; I – множество индексов системы {1, 2, … N}; N – число объектов в системе.

Пример

Система, состоящая из выключателя и лампы.

Объекты системы = {выключательX, лампа Y}.

Система – это некоторое подмножество S декартова произведения объектов семейства

.

Если система с двумя объектами – входным множеством X и выходным множеством Y, для нее имеем

.

Пример

Система, состоящая из выключателя и лампы.

Объекты системы = {выключательX, лампа Y}.

Объект X – множество {включенный выключатель X_on, выключенный выключатель X_off}.

Объект Y – множество {светящаяся лампа Y_on, несветящееся лампа Y_off}.

Декартово произведение множеств X и Y

.

В качестве системного множества S следует принять не все элементы декартова произведения, а только

.

Элементы декартова произведения следует отбросить, как физически нереализуемые.

Задание

Записать системное множество S системы типа «вход - выход» - светофор.

X – множество текущих состояний светофора

Y – множество последующих состояний светофора

Введем дополнительные составляющие системы:

Z – множество состояний системы;

функция реакции системы R, связывающую входное множество X с выходным Y и множеством Z, вида

R: (Z x X) → Y.

Т.е. мы определили правило, ставящее в соответствие элементу, полученному в результате декартового произведения множеств Z и X, элемент множества Y.

Продолжение примера

Система, состоящая из выключателя и лампы.

Множество состояний системы можно определить как текущее состояние лампы Z = {on, off}.

Функцию реакции системы R можно задать в виде следующих отношений:

R: (on, X_on) → Y_on, R: (on, X_off) → Y_off,

R: (off, X_on) → Y_on, R: (off, X_off) → Y_off.

Задание

Записать функцию реакции системы типа «вход – состояние - выход» - светофор и пешеход.

Z – множество текущих состояний светофора

X – множество последующих состояний светофора

Y – действия пешехода