Документ Microsoft Office Word (3)
.docЗатем вместо исходных используются новые значения.
)0()0(
2)0(
1...,,,nxxx
nxxx...,,,21
)1()1(
2)1(
1...,,,nxxx
Этот процесс — итерационный, его повторяют до тех пор, пока не будет достигнута
требуемая точность, определяемая условиями
(), (6) ....)1()(ikikxxnk...,,2,1.
т.е. разница между (i-1)-м и i-м приближениями каждой из неизвестных будет меньше
заданной точности . Условие (6) служит для определения момента окончания счета и
для всех остальных итерационных методов решения систем линейных и нелинейных
уравнений.
.
Формулы получения неизвестных на i-й итерации имеют вид
(7)
..
..
...1,1,1)1(
11,
)1(
22)1(
11)(
)1(
2)1(
323)1(
121222)(
2)1(
1)1(
313)1(
212111)(
1
.
..
..
...
...
.....
.....
.....
innnininnnnininniiiinniiixaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabax
.
.................
.
.
2.2.4. Метод Зейделя
В методе Зейделя на i-й итерации уточненное значение сразу же используется для
вычисления . Затем по новым значениям и вычисляют и т. д. Это
небольшое усовершенствование итерационной процедуры позволяет существенно
увеличить быстроту сходимости. Формулы получения неизвестных на i-й итерации имеют
вид
..ix1
..ix2
..ix1
..ix2
..ix3
(8)
..
..
...1,1,1)(
11,
)(
22)(
11)(
)1(
2)1(
323)(
121222)(
2)1(
1)1(
313)1(
212111)(
1innnininnnnininniiiinniiixaxaxabaxxaxaxabaxxaxaxabax
..
..
...
.....
.....
.....
.
.................
.
.
2.2.5. Метод верхней релаксации
В методе верхней релаксации новые значения каждой переменной, полученные по
формулам (8), уточняются с использованием выражения
, (9) ..........11.....ikikikikxxxx.
где — значение k-й переменной на i-й итерации по Зейделю, а . — параметр
релаксации, заключенный в интервале значений . При .=1 этот метод
тождествен методу Зейделя. Скорость сходимости зависит от выбранной величины ..
..ikx
21...
2.3. Решение систем нелинейных уравнений
В отличие от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнений не
известны прямые методы решения, и поэтому всегда применяются итерационные. В
наиболее общем случае систему нелинейных уравнений можно представить в виде
(10)
..
..
..,0,...,,
..............................
,0,...,,
,0,...,,
21212211
.
.
.
nnnnxxxfxxxfxxxf
т. е. как п функций fi от п неизвестных xi. Задача состоит в том, чтобы найти решение этой
системы. Рассмотрим общепринятые методы решения и их ограничения.
2.3.1. Метод простой итерации
Для решения нелинейных уравнений по существу является развитием метода простой
итерации для одного уравнения. Он основан на допущении, что систему (10) можно
привести к виду
..
..
..,,...,,,
..............................
,,...,,,
,,...,,,
3213212232111nnnnnxxxxfxxxxxfxxxxxfx
..
..
..
Вначале задается 0-е приближение неизвестных , оно подставляются
в правую часть приведенной системы вместо , в левой части после
вычисления получаем 1-е приближение . Затем уже полученное
приближение подставляем в правую часть системы, в левой части получаем 2-е
приближение и т.д. Процесс — итерационный, его повторяют до тех пор,
пока не будет достигнута требуемая точность (6). Сравните с аналогичными алгоритмами
для одного уравнения и для СЛАУ. Формулы для вычисления неизвестных на i-й
итерации имеют вид
)2()2(
2)2(
1...,,,nxxx
(11)
..
..
..
...,,,,,
,,,,
,,,,
,,,,
)1()1(
1)(
3)(
2)(
1)(
)1()1(
3)(
2)(
12)(
3)1()1(
3)1(
2)(
12)(
2)1()1(
3)1(
2)1(
11)(
1
..
.
..
...
....
..
..
..
..
ininiiinininiiiiiniiiiiniiiixxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfx
.
.................
.
.
.
Отметим, что здесь, как и в методе Зейделя, при вычислении значения в k-ом
уравнении все переменные с индексами заменяют новыми значениями ,
вычисленными по предыдущим уравнениям.
)(ikx
kj.)(ijx
Хотя этот метод прямо ведет к решению, у него есть свои недостатки. Так, если
исходные значения переменных слишком сильно отличаются от истинного решения, то
процесс не сойдется. Область, в которой заданные исходные значения сходятся к
решению, называется областью сходимости. С увеличением числа уравнений и,
следовательно, числа переменных в нелинейной системе область сходимости уменьшается
и, в случае больших систем, сходимость обеспечивается лишь при условии, что исходные
значения переменных близки к истинному решению.
2.3.2. Метод Ньютона
Это наиболее распространенный метод решения систем нелинейных уравнений, что
обусловлена тем, что по сравнению с методом простой итерации, он обеспечивает гораздо
более быструю сходимость. В основе метода Ньютона лежит представление всех п
уравнений (1) в виде степенных рядов:
....
....
....,,,,,,,
..............................
,,,,,,,
,,,,,,,
2211212211222212121222112121211121122111
...
....
....
.
.
.
...
.
.
..
.
.
.........
.
.
.
...
.
.
..
.
.
.........
.
.
.
...
.
.
..
.
.
.........
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxfxvxfxxfxxxxfxxxxxxfxfxxfxxfxxxxfxxxxxxfxfxxfxxfxxxxfxxxxxxf
Будем считать, что приращения переменных таковы, что функции fk принимают
значения, близкие к корню, т.е. — левые части полученных уравнений обращаются в
нули. Отбросив слагаемые порядка выше первого в правой части, сведем задачу к
решению СЛАУ относительно приращений
kx.
ix.
..
..
..,,,,...
..............................
,,,,
,,,,
21221121222221122111221111nnnnnnnnnnnnnxxxfxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxxf
.
..
..
...
.
.
...
.
.
..
.
.
...
.
.
...
.
.
..
.
.
...
.
.
...
.
.
..
.
.
в которой матрицу частных производных и вектор-столбец правой части можно оценить
для любого приближенного решения (0-го, 1-го и т.д. приближений). Найденные значения
в дальнейшем используются как поправки к исходному приближенному решению ix.
() kkkxxx...nk...,,2,1.
Счет прекращается, если все достаточно малы — т.е. выполняется условие (6). В
противном случае новые значения xk используются как приближенные значения корней, а
процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено решение или не станет ясно, что
получить его не удастся. Следует внимательно проверять сходимость. Если значения
корней значительно отличаются друг от друга, то условия (6) могут оказаться слишком
завышенным для корней xk, имеющих большие значения. В таких случаях следует
пользоваться оценкой относительной ошибки
kx.
(k=1, 2,…,п). ..
.
kkxx
Xотя метод Ньютона имеет преимущества по сравнению с другими итерационными
методами, для него также существует проблема сходимости. Величина области
сходимости, грубо говоря, обратно пропорциональна степени сложности и числу
уравнений.
3. Определенный интеграл
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке (a,b) и для определенности f(x)>0. Разобьем
[a,b] на n равных частей точками x1, x2, …, xn (рис. 1). Длины x1-x0, x2-x1, … равны между
собой и равны . Рассмотрим величину ..nabh..
, (1) ..............nnnSxfxfxfnabhxfhxfhxf....
.
......110110..
которая называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a,b].
Рис. 1
Можно доказать, что предел этой суммы при или равен определенному
интегралу функции, т.е.
..n0.h
, (1) ....
..
bannxxfSdlim
где a, b — пределы интегрирования, f(x) — подынтегральная функция, — знак
интеграла.
.
3.1.1. Метод прямоугольников
Следует непосредственно из изложенного выше определения
— левая сумма (2а) .........
.
.
.
.
.
.
..
1010dniiniibaLSxfhxfnabxxfI
или — правая сумма (2б) ......
.
..
niiPSxfhxxfI1bad
3.1.2. Метод трапеций
Сущность метода трапеций заключается в линейной аппроксимации подынтегральной
функции (рис. 2). Как и в предыдущем методе интервал [a,b] разбивается на n равных
частей точками x1, x2, …, xn (рис. 1). Соседние точки и соединяются
прямыми. Если , а , то интеграл будет представлять собой сумму площадей n
трапеций, высотой :
),(kkyx),(11..kkyx
ax.0bxn.
..nabh..
,(3) ..........
.
..
.
.................22222d121012110nnnnbaTyyyyyhyyhyyhyyhxxfI..
Рис. 2
Ошибка ограничения для метода трапеций
, ....bсahсfabRn....
.
.2max12
3.1.3. Метод Симпсона
Получаем, если аппроксимировать подынтегральную функцию кривой 2-го порядка
(параболой). Рассмотрим полоску, ограниченную кривой и прямыми ,
, (рис. 3).
..xfy.0.y
hx..hx.
Рис. 3
Функцию заменим параболой ..xfy.
, (4) ......xxY2
проходящей через точки , , . Тогда будет ..1,..yhA..0,0yB..1,yhC..
hhxyI-
d
приближенно равен : ..
hhSxYI-
d
. (5) ..hhxxxxxxIhhhhS.
.
.
..
...23223d323-
2....
.
.
..
.
.
......
.
.
Коэффициенты можно выразить через . Полагая в формуле (4)
последовательно, и , получим
...,,101,,yyy.
0.x
, , , .......hhy21..0y.......hhy21
откуда
, , . 0y..210122hyyy..
...
hyy211..
..
Подставляя и в (5) получим ..
(6) ....1010101432231yyyhhyyyyhIS.........
формулу Симпсона.
Используя параллельный перенос системы координат, можно записать:
, ......
.
..
.
...
.
..
..
...
kkkkSxyxxyxyhI2431
где . ..21kkxxh...
Если разбить [a,b] на равных отрезка , , , то
формула Симпсона примет вид
n2ax.0hax..1.bnhaxn....22
. (7) ................nnnSxyxyxyxyxyxyxyhI212223210424243
...........
Ошибка ограничения для метода Симпсона
.....max1804bahfabRIVn..
.
...
3.1.4. Метод Гаусса
В методе трапеций при двух ординатах удается найти точное значение интеграла от
линейной функции. Ординаты — концы отрезка интегрирования. По Гауссу,
соответствующим образом выбирая ординаты, с использованием линейной функции
можно получить точный результат для многочлена 3-го порядка.
Для упрощения выкладок заменим пределы интегрирования [a,b] на [-1,1]. Введем
новую переменную
..
ababx
.
..
.
2
.
так, что
, (8) ......ababx.....
21...dabdx..
21
Интеграл после подстановки формул (8) запишется ....
baxxfId
, (9) ...
.
.
11d...I
где . ..........
.
..
.
.....ababfab212121
...
Попытаемся найти линейную функцию
, ...10..y
для которой
, (10) ......
..
...
1111101dd.......I
равен I (9).
Графически задача заключается в нахождении прямой, площадь под которой равна
площади под интегрируемой функцией (рис. 4).
Рис. 4
Предположим, что интегральная формула имеет вид
. (11) ....1100....AAIG..
Необходимо определить . Имеем 4-е параметра, следовательно формула
дает точный результат при интегрировании кубической параболы, которую представим в
виде
1010,,,..AA
( и - произвольны). ....................101010......0.1.
Если и должны удовлетворять (10), то и определятся из условия: 0.1.0.1.
. ......0d111010.....
.
........
Так как это условие должно выполняться для любых и , то необходимо
потребовать выполнение следующих равенств:
, , ....0d1110....
.
.........0d1110....
.
......
после интегрирования получим
, , 023210....010....
откуда
. (12) 3101.....
Осталось найти и в формуле (11). Заметим, что 0A1A
. (13) ....011101112dd..............
..
I
и из (11), (12) найдем
. (14) ........1011001011003AAAAAAIG........
.
.......
Приравнивая коэффициенты при и в (13) и (14), получим
, , 210..AA010..AA
следовательно, и уравнение (4) окончательно 110..AA
(формула Гаусса). (14) ..
.
.
..
.
.
...
.
.
..
.
.
..
3131
..GI
Ошибка ограничения
..
135
.IVTfe...11....
при интегрировании многочленов 3-го порядка включительно равна 0.
3.2. Примеры интегрирования.
. (Точное решение I=2.3925). .
.
.
.
222d2xeIx
Метод прямоугольников при h=1 (пять ординат) (левая сумма):
. 4837.2225.005.02..........eeeeeILS..0902.0..
Метод трапеций при h=1 (пять ординат):
. ..3484.22222125.005.02..........eeeeeIT..0441.0..
Метод Симпсона при h=1 (пять ординат):
. ..3743.24243125.005.02..........eeeeeIS..0182.0..
Метод Гаусса с двумя ординатами:
,
где
. ........
..
2222212121.
...
.
....
.
..
.
.....eababfab
Подставляя численные значения, получаем
.
....
0563.2257735.02257735.02
.
..
.
.
..
.
.
..
..
.
..
...
..
.
..
...
eeIG..3389.0..
4. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальными называются уравнения, содержащие одну или несколько
производных. Большая часть законов физики формулируется именно в виде
дифференциальных уравнений. В сущности, любая задача проектирования, связанная с
расчетом потоков энергии или движения тел, в конечном счете, сводится к решению
дифференциальных уравнений. Так как лишь очень немногие из них удается решить без
помощи вычислительных машин, то численные методы играют важную роль в практике
инженерных расчетов.
Рассмотрим простой пример. Пусть степень изменения по отношению к
пропорциональна :
yx
y
. (1) yxy
.
dd
Решение этого уравнения хорошо известно
, xaey.
где — произвольная постоянная. При различных значениях постоянной получается
семейство кривых, которые все удовлетворяют уравнению (1). Уравнение (1) является
просто утверждением, что в каждой точке кривой значение производной равно значению
самой функции. Постоянную можно определить, если задать значение для
некоторого значения , например,
aa
a
при — . (2) 0.x1.y
При этом легко найти, что постоянная равна 1 и из всего семейства кривых лишь одна
удовлетворяет одновременно (1) и (2)
. xey.
4.1.1. Задача Коши
Таким образом, чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение,
необходимо знать значения зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых
значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при
одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с
начальными условиями, или задачей Коши.
Задачу Коши можно сформулировать следующим образом. Пусть дано
дифференциальное уравнение
(3) ..yxfxy,
dd
.
и начальное условие
. (4) ..00yxy.
Требуется найти функцию , удовлетворяющую как указанному уравнению, так и
начальному условию.
..xy
Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала значение
производной, а затем, задавая малое приращение dх=h и переходя к новой
точке. Положение новой точки определяется по наклону кривой, вычисленному
с помощью дифференциального уравнения. Таким образом, график численного решения
представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков,
аппроксимирующих истинную кривую у=f(x). Сам численный метод определяет порядок
действий при переходе от данной точки кривой к следующей.
hxx..01
Часто в задаче Коши в роли независимой переменной выступает время. Примером
может служить задача о свободных колебаниях тела, подвешенного на пружине.
Движение такого тела описывается дифференциальным уравнением, в котором
независимой переменной является время t. Если дополнительные условия заданы в виде
значений перемещения и скорости при t=0, то имеем задачу Коши.
Поскольку численное решение задачи Коши широко применяется в различных
областях науки и техники, то оно в течение многих лет было объектом пристального
внимания и число разработанных для него методов очень велико. Остановимся здесь на
одношаговых методах, с помощью которых вычисляют последовательные значения у,
соответствующие дискретным значениям независимой переменной х. К ним относятся
метод Эйлера и методы Рунге— Кутта.
4.1.2. Метод Эйлера
Это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать
дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на
практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять
алгоритм других, более эффективных методов.
Метод Эйлера основан на разложении у в ряд Тейлора в окрестности : 0x
. ...........
2102000........xyhxyhxyhxy
Если h мало, то слагаемые, содержащие h во второй или более высоких степенях,
являются малыми более высоких порядков и ими можно пренебречь. Тогда
. ......000xyhxyhxy....
находим из дифференциального уравнения, подставив в него начальное условие.
Таким образом, можно получить приближенное значение зависимой переменной при
малом смещении h от начальной точки. Этот процесс можно продолжить, используя
соотношение
..0xy.
, ,. ..kkkkyxhfyy,1...,...2,1.k
и делая сколь угодно много шагов. Графически метод Эйлера показан на рис. 1. Ошибка
метода имеет порядок h2, так как слагаемые ряда, содержащие h во второй и более
высоких степенях, отбрасываются.
Рис. 1
4.1.3. Модифицированный метод Эйлера
Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен
и равен у'(х0), он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной.
Поэтому в точке x0+h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке x0.
Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале h в
результаты вычислений вносится погрешность. Точность метода можно существенно
повысить, улучшив аппроксимацию производной, например, используя среднее значение
производной в начале и конце интервала. В модифицированном методе Эйлера сначала
вычисляется значение функции в следующей точке по методу Эйлера
, ..kkkkyxhfyy,*
1...
которое используется для вычисления приближенного значения производной в конце
интервала . Вычислив среднее между этим значением производной и ее
значением в начале интервала, найдем более точное значение
..*
11,..kkyxf
1.ky
. ......*
111,,
21
......kkkkkkyxfyxfhyy
Этот прием иллюстрируется на рис. 2. Принцип, на котором основан
модифицированный метод Эйлера, можно пояснить и иначе. Для этого вернемся к
разложению функции в ряд Тейлора
. .............
!31210302000............xyhxyhxyhxyhxy
Рис. 2
Кажется очевидным, что, сохранив слагаемые с h2 и отбросив слагаемые более
высоких порядков, можно повысить точность. Однако чтобы сохранить член с h2, надо
знать вторую производную у"(х0) Ее можно аппроксимировать конечной разностью:
. ..
....
hxyhxyxyxy000
....
.
.
..
...
Подставив это выражение в ряд Тейлора с отброшенными членами второго порядка,
найдем
, ..........000021xyhxyhxyhxy.......
что совпадает с ранее полученным выражением1.
1 При условии, что точное значение производной у'(х+h) заменено при ближенным f(xn+i,y*n+1). Оценки
показывают, что ошибка при этой замене имеет порядок h3.— Прим. ред.
Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется слагаемое
ряда Тейлора, содержащий h2. Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода,
имеет порядок h3. За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными
затратами машинного времени, необходимыми для вычисления . Более высокая
точность может быть достигнута, если пользователь готов потратить дополнительное
*
1.ky
машинное время на лучшую аппроксимацию производной путем сохранения большего
числа членов ряда Тейлора. Эта же идея лежит в основе методов Рунге-Кутта.
4.1.4. Методы Рунге-Кутта
Чтобы удержать в ряде Тейлора член n-го порядка, необходимо каким-то образом
вычислить п-ю производную зависимой переменной. При использовании
модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечно-
разностной форме достаточно было знать наклоны кривой на концах рассматриваемого
интервала. Чтобы вычислить третью производную в конечно-разностном виде,
необходимо иметь значения второй производной по меньшей мере в двух точках. Для
этого необходимо дополнительно определить наклон кривой в некоторой промежуточной
точке интервала h, т. е. между xn и xn+1. Очевидно, чем выше порядок вычисляемой
производной, тем больше дополнительных вычислений потребуется внутри интервала.
Метод Рунге-Кутта дает набор формул для расчета координат внутренних точек,
требуемых для реализации этой идеи. Так как существует несколько способов
расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных
производных, то метод Рунге-Кутта в сущности объединяет целое семейство методов
решения дифференциальных уравнений первого порядка. Наиболее распространенным из
них является метод, при котором удерживаются все слагаемые, включая h4. Это метод
четвертого порядка точности, для которого ошибка на шаге имеет порядок h5. Расчеты при
использовании этого классического метода производятся по формуле
, )22(
6132101KKKKyykk......
где
, ..kkyxhfK,0.
, ..
.
..
.
...0121,21KyhxhfKkk
, ..
.
..
.
...1221,21KyhxhfKkk
. ..
.
..
.
...2321,KyhxhfKkk
Метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге-Кутта
первого и второго порядка соответственно. По сравнению с ними метод Рунге-Кутта
имеет важное преимущество, так как обеспечивает более высокую точность, которая с
лихвой оправдывает дополнительное увеличение объема вычислений. Более высокая
точность метода Рунге-Кутта часто позволяет увеличить шаг интегрирования h.
Допустимая погрешность на шаге определяет его максимальную величину. Чтобы
обеспечить высокую эффективность вычислительного процесса, величину h следует
выбирать именно из соображений максимальной допустимой ошибки на шаге. Такой
выбор часто осуществляется автоматически и включается как составная часть в алгоритм,
построенный по методу Рунге-Кутта.
4.1.5. Погрешности решения дифференциальных уравнений
При решении дифференциальных уравнений различают ошибки двух типов:
1. Локальная ошибка —сумма погрешностей, вносимых в вычислительный процесс на
одном шаге вычислений.
2. Глобальная ошибка — разность между вычисленным и точным значением величины
на каждом этапе реализации численного алгоритма, определяющая суммарную
погрешность, накопившуюся с момента начала вычислений.
4.1.6. Пример расчета
Относительную точность одношаговых методов продемонстрируем на следующем
примере. Пусть требуется решить уравнение
yxxy22dd2..
при начальном условии у(0)=1, и h=0.1. Это — линейное уравнение, имеющее
точное решение:
10..x
. 5.05.122....xxeyx
Результаты расчета представлены в приведенной ниже таблице.
xn
Метод Эйлера
Модифицированный
метод Эйлера
Метод Рунге-Кутта
Точное решение
0.0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0.1
1.2000
1.2210
1.2221
1.2221
0.2
1.4420
1.4923
1.4977
1.4977
0.3
1.7384
1.8284
1.8432
1.8432
0.4
2.1041
2.2466
2.2783
2.2783
0.5
2.5569
2.7680
2.8274
2.8274
0.6
3.1183
3.4176
3.5201
3.5202
0.7
3.8139
4.2257
4.3927
4.3928
0.8
4.6747
5.2288
5.4894
5.4895
0.9
5.7376
6.4704
6.8643
6.8645
1.0
7.0472
8.0032
8.5834
8.5836
4.2. Выбор шага
Обычно, выбирая величину шага, стремятся, чтобы локальная ошибка на шаге была
меньше некоторой заданной допустимой величины. Вообще говоря, если порядок
точности метода п, то локальная ошибка определяется выражением
, 1.nCh
где С — некоторая постоянная, a h — шаг.
Если для вычисления значения искомой функции в точке используется шаг h,
то разность между истинным и вычисленным значениями равна
1.ky1.kx
. 11
.
...nkистChyy
Если уменьшим шаг вдвое и вычислим в точке , то получим *
1.ky1.kx
.
1*
12
.
...
.
..
.
..
nkистhCyy
Вычитая это выражение из предыдущего, найдем
,
..
.
.
..
.
.
..
.
..
.
....
.
..
.
...
.
.
.
.
..
11111*
12112nnnnkkChhCChyy
откуда можно найти локальную погрешность2
2 Приводимая формула для оценки локальной погрешности в литературе по разностным методам обычно
называется первой формулой Рунге.— Прим. ред.
.
..
1221*
1111
.
.
..
..
.
.
nkknnyyCh
Недостатком этого метода является то, что значение приходится вычислять
дважды. Так как, для того чтобы вычислить в точке , приходится делать два шага,
каждый из которых равен половине исходного, объем вычислений увеличивается более