С учетом (23.6) и (23.7) выражение для силы трения качения примет вид

(23.8)

Оба слагаемых в выражении (23.8) имеют один порядок малости — они пропорциональны малой величине . Полагая в этом выражении, где— сила, с которой плоскость качения действует на шар, имеем

(23.9)

Формула (23.9) не является точным выражением, определяющим силу трения качения. Это оценочная формула. Используя модель двух соприкасающихся тел — слабо деформируемой плоскости качения и катящегося по ней без проскальзывания недеформируемого шара, — мы лишь показали, что сила трения качения пропорциональна величинам ,и обратно пропорциональна величине. Не учтены (да и не могли быть учтены) величина и характер деформации соприкасающихся тел, величина молекулярных сил сцепления шара и плоскости, зависимость этих сил от вида материалов, из которых сделаны шар и плоскость, и многое другое. Поэтому выражение (23.9) лучше переписать в виде

, (23.10)

где безразмерный коэффициент учел бы, в принципе, все отмеченные выше «упущения». На практике, однако, из-за невозможности определенияи вычислениякоэффициентобъединяют с величиной, коэффициентом 1/2, и величину

(23.11)

называют коэффициентом трения качения. Таким образом, — размерная величина, имеющая размерность длины. Значения коэффициентовдля различных пар соприкасающихся тел (разных и по форме, и по материалам, из которых они сделаны) подлежат экспериментальному определению.

Тогда с учетом введенного коэффициента трения качения

(23.12)

В настоящей работе коэффициент трения качения экспериментально определяется с помощью наклонного маятника. Его принципиальная схема изображена на рис.23.4 в двух проекциях. Конструктивно наклонный маятник — это шар, прикрепленный к свободному концу нити и лежащий на поверхности наклонной плоскости. Другой конец нити закреплен. Шар может совершать колебания на наклонной плоскости. Обозначим длину нити , а угол наклона плоскости качения. В положении равновесия наклонного маятника его нить параллельна оси.

Выведем шар из положения равновесия на малый угол () и предоставим его самому себе (см. рис.23.4). Пройдя в обратном направлении положение равновесия с ненулевой скоростью, шар отклонится на угол. Подстрочный индекс 1/2 означает лишь то, что маятник совершил при этом половину своего первого колебания (1/2 периода колебания). Шар теряет часть запаса своей потенциальной энергии из-за работы, совершаемой силой трения качения. Поэтому углыиудовлетворяют неравенству.

Рис.23.4

Работа силы трения качения на пути вычисляется по формуле

, (23.13)

где определяется выражением (23.12), а путь, проходимый шаром наклонного маятника за первую половину периода,

(23.14)

Величина силы нормального давления наклонной плоскости на шар , как видно из рис.23.4, определяется выражением

(23.15)

С учетом выражений (23.12), (23.14) и (23.15) выражение для работы перепишем в виде

(23.16)

Согласно закону сохранения полной механической энергии, работа силы трения качения (работа неконсервативной силы) идет на приращение полной механической энергии шара:

Отметим, что в начале и в конце пути , проходимого шаром за первую половину периода его первого колебания, шар имеет скорость, равную нулю, и, следовательно, равную нулю кинетическую энергию. Тогда приращение полной механической энергии шара за первую половину его первого периода колебаний равно приращению его потенциальной энергии

и можно записать:

Приращение потенциальной энергии шара за первую половину его первого периода колебания определяется выражением

или

где — убыль угла отклонения за первую половину периода. Учитывая условие малости углов, : , , , представим окончательное выражение для :

(23.17)

Приравнивая, согласно закону сохранения энергии, выражения (23.16) и (23.17), получаем формулу для экспериментального определения коэффициента трения качения :

. (23.18)

Как следует из (23.18), коэффициент выражается через параметры установки наклонного маятника.

Для практических целей, однако, удобнее иметь формулу, связывающую коэффициент трения качения с убылью угла отклонения нити наклонного маятниказаполных колебаний. По определению,. При малых углах отклонения нити наклонного маятника () и малых деформациях плоскости качения можно показать, что за каждую следующую половину периода колебаний убыль угла отклонения нити наклонного маятника будет равна одной и той же величине— убыли угла отклонения за первую половину первого периода, т.е.

.

Тогда можно найти простую формулу, связывающую и:

. (23.19)

С учетом выражения (23.19) выражение (23.18) для коэффициента трения качения примет вид:

. (23.20)

При , как и следовало ожидать, выражение (23.20) переходит в выражение (23.18).

Приведем также выражение для вычисления относительной ошибки измерения величины:

. (23.21)

Здесь — ошибки измерений соответствующих величин.

Из элементарной теории колебаний математического маятника известна связь между периодом его колебаний и ускорением свободного падения:

, (23.22)

где — длина нити математического маятника. В случае наклонного маятника выражение (23.22) примет вид

, (23.23)

Таким образом, можно экспериментально определять с помощью наклонного маятника ускорение свободного падения по формулам:

, (23.24)

. (23.25)

Здесь — ошибки измерений соответствующих величин.

Формулы (23.20), (23.21) и (23.24), (23.25) — основные расчетные формулы. Все значения углов иподставляются в расчетные формулы в радианах.