Перемещение точки. Векторы и скаляры

Материальная точка при своем движении описывает некоторую линию. Эта линия называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение и т. д.

Пусть материальная точка (в дальнейшем мы для краткости будем говорить просто точка) переместилась вдоль некоторой траектории из точки 1 в точку 2 (рис. 3). Расстояние от точки 1 до точки 2, отсчитанное вдоль траектории, представляет собой пройденный путь. Мы будем обозначать его буквой s.

Отрезок прямой, проведенный из точки 1 в точку 2, называется перемещением. Обозначим его r₁₂. Перемещение характеризуется, кроме своей величины (равной длине отрезка r₁₂), также и направлением. Действительно, рассмотрим два одинаковых по величине перемещения r₁₂ и r₁₃ (рис. 4). Несмотря на равенство длин этих отрезков, они явно представляют собой совершенно различные перемещения.

Величины, подобные перемещению, подчиняются особому правилу сложения, которое можно уяснить на следующем примере. Пусть точка совершает последовательно два перемещения: r₁₂ и r₂₃ (рис. 5). Суммой этих двух перемещений естественно назвать такое перемещение r₁₃, которое приводит к тому же результату, что и первые два перемещения вместе.

Величины такого рода, как перемещение, т. е. характеризующиеся численным значением и направлением, а также складывающиеся по правилу, показанному на рис. 5, называются векторами. К числу векторов принадлежат скорость, ускорение, сила и ряд других величин.

Величины, для задания которых достаточно одного численного значения, называются скалярами. Примерами скаляров могут служить путь, время, масса и т. д.

Векторы принято обозначать буквами жирного шрифта. Например, вектор перемещения из точки 1 в точку 2 обозначается r₁₂. Та же буква обычного шрифта означает численное значение или, как говорят, модуль соответствующего вектора¹). Для обозначения модуля пользуются также символом вектора, заключенным между двумя вертикальными черточками. Таким образом,

| А | = А = модулю вектора А,

| r₁₂| = r₁₂ = модулю вектора r₁₂.

Модуль вектора — скаляр, причем всегда положительный.

На чертежах векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков со стрелкой на конце. Длина отрезка в установленном масштабе дает модуль вектора, а указанное стрелкой направление отрезка дает направление вектора.

Показанная на рис. 5 операция сложения векторов символически записывается следующим образом:

r₁₂ + r₂₃ = r_13.

Некоторые сведения о векторах

Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну и ту же или в противоположные стороны), называются коллинеарными.

Векторы, направления которых параллельны одной и той же плоскости, называются компланарными.

Одинаковые по модулю коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону, считаются равными друг другу. Равные по модулю коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления, считаются отличающимися друг от друга по знаку. Так, например, между векторами, изображенными на рис. 6, и их модулями имеются следующие соотношения: A = B; A = – C; B = – C; A = B = C или │A│= │B│= │C│.

Сложение векторов. О том, как складываются два вектора в результирующий вектор, была уже речь в предыдущем параграфе. Рассмотрим теперь этот вопрос несколько подробнее.

Пусть нам даны два вектора А и В (рис. 7,а).

Чтобы получить результирующий вектор С, перенесем вектор В параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось совмещенным с концом вектора А (рис. 7,б). Тогда вектор С, проведенный из начала вектора А в конец вектора В, будет пред­ставлять собой результирующий вектор:

С = А + В.

Можно, однако, осуществить построение несколько иным способом (рис. 7,в). Перенесем вектор В (или А) так, чтобы начала обоих векторов оказались совмещенными. Затем построим на векторах А и В параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, очевидно, совпадает с вектором С, полученным по способу, показанному на рис. 7,б. По этой причине иногда говорят, что векторы складываются по правилу параллелограмма.

Оба рассмотренных способа — б) и в) — дают одинаковый результат. Однако в случае сложения более чем двух векторов способ б) оказывается более простым и удобным. Пусть даны векторы А, В, С и D (рис. 8). Перенесем векторы параллельно самим себе таким образом, чтобы начало последующего вектора оказалось совмещенным с концом предыдущего. Получится ломаная линия. Результирующий вектор будет представлять собой вектор Е, проведенный из начала первого из слагаемых векторов А в конец последнего D. Легко убедиться в том, что результирующий вектор Е не зависит от последовательности, в которой складываются заданные векторы. На рис. 8,б показан случай E = A + B + C + D, а на рис. 8,в — случай E = D + B + C + A.

Имеются в виду так называемые свободные векторы, т. е. векторы, которые могут быть отложены из любой точки пространства. Кроме свободных, бывают скользящие векторы, начало которых может скользить по прямой, проходящей через вектор, и связанные векторы, т. е. векторы, приложенные к определенной точке.

3-я лекция. Динамика материальной точки.

Границы применимости ньютоновской механики. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Первый закон Ньютона. Масса и импульс тела.

Второй закон Ньютона как уравнение движения. Начальные условия. Единицы и размерности физических величин.

Третий закон Ньютона. Конечность скорости распространения взаимодействия.