Кинетическая энергия твердого тела

Вращение тела вокруг неподвижной оси. Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси, которую мы назовем осью z. Линейная скорость элементарной массы Δm_i может быть представлена в виде

где R_i — расстояние Δm_i от оси z. Следовательно, кинематическая энергия i-й элементарной массы равна

Кинетическая энергия тела слагается из кинетических энергий его частей:

Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела I_z относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна

Полученное выражение аналогично выражению для кинетической энергии тела, движущегося поступательно,

При вращательном движении роль массы играет момент инерции, а роль линейной скорости — угловая скорость.

Работа внешних сил при вращении твердого тела. Найдем работу, которую совершают внешние силы при вращении тела вокруг неподвижной оси z. Обозначим внешнюю силу, приложенную к элементарной массе Δm_i через f_i. За время dt i-я

элементарная масса проходит путь (рис. 107) где dφ — угол, на который поворачивается тело за время dt. Работа силы fi на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которую можно обозначить символом fτi (τ — единичный вектор касательной к окружности, по которой движется i-я элементарная масса; направление этого вектора совпадает с направлением перемещения в данный момент).

Таким образом,

Но f_τi R_i равно модулю момента силы f_i относительно оси z, т. е. |М_zi|, взятому со знаком «+», если f_τi положительна, и со знаком «—», если f_τi отрицательна [см. формулу (36.10); в этой формуле f_τ — не проекция, а модуль силы f_τ]. Следовательно,

Элементарный угол поворота можно рассматривать как аксиальный вектор

Легко сообразить, что работа dA_i,- будет положительна, когда вектор М_zi,- имеет такое же направление, как и dφ, и отрицательна, если направления векторов М_zi и dφ противоположны. Поэтому формуле (40.2) можно придать вид:

Работа всех сил, приложенных к телу, равна сумме работ, совершаемых отдельными силами:

Сумма, стоящая в скобках, дает результирующий момент М_z всех приложенных к телу внешних сил относительно оси вращения. Следовательно,

Это выражение аналогично выражению для работы при поступательном движении: dA = f ds. Из сопоставления следует, что в случае вращения роль силы играет момент силы, а роль линейного перемещения ds = vdt — угловое перемещение dφ = ωdt.

Практически для вычисления работы пользуются выражением

где под M_ω подразумевается проекция результирующего момента приложенных к телу внешних сил на направление вектора ω. Работа за конечный промежуток времени находится путем интегрирования выражения (40.4):

Если проекция результирующего момента сил на направление ω остается постоянной, ее можно вынести за знак интеграла:

(φ — угол, на который поворачивается тело за время t).

Кинетическая энергия тела при плоском движении.

Плоское движение тела, как мы видели в § 34, может быть представлено как наложение двух движений — поступательного с некоторой скоростью v₀ и вращения вокруг соответствующей оси.. Свяжем с телом систему координат К', ось z' которой направим вдоль вектора угловой скорости вращения тела ω. Согласно формуле (33.13) скорость i'-й элементарной массы тела в неподвижной системе координат К, может быть представлена в виде

где v₀ — скорость начала координат О' системы К', r'_i - радиус-вектор, определяющий положение элементарной массы по отношению к точке О'.

Кинетическая энергия i'-й элементарной массы равна

.

Осуществив возведение в квадрат, получим:

Векторное произведение ω на r'_i можно, как мы знаем, заменить векторным произведением ω на R_i, — • перпендикулярную к оси z' составляющую радиуса-вектора r'_i [см. формулу (11.4) и следующий за ней текст]. Модуль этого векторного произведения равен ωR_i (ω и R_i взаимно перпендикулярны). Следовательно, [ω, r'_i]² = ω²R_i². Подставим это значение в (40.1) и просуммируем ΔT_i- по всем элементарным массам. В результате мы получим кинетическую энергию тела:

Вынесем всюду постоянные множители за знак суммы:

12-я лекция. Гироскопы

Гироскопический эффект. Прецессия гироскопа.

Механика несжимаемой жидкости. Линии и трубки тока. Неразрывность струи. Уравнение Бернулли. Истечение жидкости из отверстия. Силы внутреннего трения.

Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах.