ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭВМ

1. Алгебра логики

В алгебре логики рассматриваются переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1. Переменные будем обозначать латинскими буквами x,y,z…, а также x₀,x₁,…x_n, y₀,y₁,…y_n и т.д.

Отношение эквивалентности (равенства «=»), удовлетворяет следующим свойствам:

рефлексивность: x=x;

симметричность: если x=y то y=x;

транзитивность: x=y и y=z то x=z, отсюда следует принцип, если x=y, то в любой формуле, содержащей x, в место x можно подставить y, и в результате будет получена эквивалентная формула.

2 Логические операции

Это три операции:

дизъюнкция, операция ИЛИ, логическое сложение. Обозначают знаком V или +;

конъюнкция, опе6рация И, логическое умножение, обозначается знаком ^, или &, или *, или опускается;

отрицание, инверсия, операция НЕ, обозначается чертой над переменной, или над элементами 0 и 1, или над операциями с охватом всех переменных входящих в операцию ();

3. Аксиомы алгебры логики

Формула (1) утверждает, что в алгебре логики рассматриваются только двоичные переменные.

Формулы (2)-(4) определяют операции дизъюнкции и конъюнкции.

Формула (5) определяет операцию отрицания.

4. Законы (теоремы и тождества) алгебры логики

На основании аксиом алгебры логики можно вывести ряд теорем и законов.

Идемпотентные законы (6)

Коммутативные законы (7)

Ассоциативные законы (8)

Дистрибутивные законы (9)

Законы отрицания (10)

(11)

(12)

Законы двойственности (теоремы де Моргана)

(13)

Закон двойного отрицания (14)

Законы поглощения (15)

Операции склеивания (16)

(17)

Большинство теорем, а также аксиом записаны парами. При внимательном изучении пар можно вывести принцип двойственности – если в тождестве произвести взаимные замены операций дизъюнкции и конъюнкции, а также элементы 0 и 1, если они имеются, то получим тоже тождество. Такое свойство называется принципом двойственности.

f(v,0,l/+,&)=g(v,0,/+,&) где v=(x_n-1,...,x₀) то справедливо также тождество: f(v,l,0/&,+)=g(v,l,0/&,+)

Все теоремы могут быть доказаны аналитически или методом перебора.

Метод перебора – тождество (13)

XY
0 0
0 1
1 0
1 1

Аналитический метод – тождество (17)

Порядок выполнения операций:

отрицание слагаемой или сомножителя;

конъюнкция сомножителей;

дизъюнкция слагаемых;

общее отрицание дизъюнкции или конъюнкции.