4.3. Булевы алгебры

Понятие булевой алгебры имеет большое число приложений в программировании и вычислительной технике.

Определение 4.5. Пусть –какое-либо непустое множество, на котором задано отношение частичного порядкаи через это отношение определены две бинарные операции:и,. Если операциииобладают свойствами:

(1) ,

(2) ,

(3) ,

(4) ,

(1') ,

(2') ,

(3') ,

(4') ,

то алгебру типаназываютрешеткой.

Примером решетки является {P(U),}, где P(U) – булеан любого непустого множества с операциями пересечения , объединенияи отношением включения.

В любой решетке действует принцип двойственности, который можно сформулировать так.

Пусть Ф – некоторое утверждение о произвольной решетке . Если в этом утверждении заменить всюдуна,наи– на, то полученное утверждение называютдвойственным утверждению Ф, причем, если Ф – истинное утверждение, то двойственное утверждение также будет истинным.

Например, из истинности утверждения для любых множестви, следует истинность двойственного утверждения.

Если решеточные операции обладают свойствами дистрибутивности (см. табл. 4.1), то решетку называют дистрибутивной решеткой.

Таблица 4.1

Свойства операций булевой алгебры

№п.п	Название свойства	Свойства логического умножения	Свойства логического сложения
1	Коммутативность
2	Ассоциативность
3	Дистрибутивность	(дистрибутивность логического умножения относительно логического сложения)	(дистрибутивность логического сложения относительно логического умножения)
4	Свойство нуля
5	Свойство единицы
6	Идемпотентность
7	Свойство поглощения
8	Законы де Моргана
9	Свойство порядка

Пусть дистрибутивная решетка содержит наименьший элемент (обозначим его – 0) и наибольший элемент (обозначим его – 1). Это означает, что для любого элементавыполняются неравенства:. Элементназываютдополнением элемента , еслии. Дополнениеобозначают.

Алгебра типа является булевой алгеброй. Так называют алгебру, операции которой обладают свойствами, указанными выше. (Джордж Буль – английский математик и логик, 1815–1864).

Примером булевой алгебры является алгебра {P(U),}, подробно рассмотренная в главе 1. Если , то алгебра{P(U),}, как было показано выше, изоморфна алгебре . Следовательно, также является булевой алгеброй. Операции этой булевой алгебры имеют названия

конъюнкция:

;

дизъюнкция:

;

отрицание:

,

где ,,.

Справедливы утверждения.

Утверждение 1. Две булевы алгебры изоморфны (по отношению к операциям этих алгебр) в том и только том случае, если они имеют одно и то же число элементов.

Утверждение 2. Всякая булева алгебра изоморфна алгебре {P(U),}.

Принцип двойственности в булевой алгебре имеет следующий вид.

Пусть Ф – некоторое утверждение о произвольной булевой алгебре . Если в этом утверждении заменить всюдуна,на,– наи знаки переменных на знаки их отрицаний, убрав при этом имевшиеся знаки отрицаний, то полученное утверждение называютдвойственным утверждению Ф, причем, если Ф – истинное утверждение, то двойственное утверждение

также будет истинным.

Например, из истинности утверждения для любых множестви, следует истинность двойственного утверждения.