6.2. Подграфы и части графа. Векторное пространство частей графа

Определение 6.3. Подграфом графа называют граф , если и.

Определение 6.4. Частью графа называют граф , если и.

Пример.

На рис. 6.6 изображен граф ,

подграфграфа :,

и частиграфа :

и

Граф является подграфом графа , так как,

EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3.

Следовательно, .

Аналогично проверяем, чтои, а значит,иесть части графа.

Обратим внимание на то, что если в часть графа включены все вершины графа, т.е. если, то.

Рассмотрим именно такой случай. Если в часть графа включены все вершины графа, то число различных частей графаопределяется числом его ребер, поскольку каждая часть соответствует одному из подмножеств множества ребер графа. Если число ребер графаравно, то графимеетчастей.

Пример.

Задан граф, требуется найти все его части.

Все части графа показаны на рис. 6.7.

Граф является пустой частью, все его вершины изолированы.

Сам граф , в соответствии с определением подмножества, является частью самого себя.

Поскольку любое подмножество универсального множества может быть задано характеристической функцией, то и все части графа могут быть записаны как трехмерные двоичные векторы, каждый из которых является характеристической функцией соответствующей части. В результате получаем множество трехмерных двоичных векторов (см. рис. 6.7).

Двоичные векторы, являясь элементами множества , позволяют выполнять над своими координатами все булевы операции – отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, сложение по модулю 2, при этом результат выполнения таких операций есть снова вектор из. Следовательно,является векторным пространством, замкнутым, относительно булевых операций.

В случае с графами большую роль играет операция сложения по модулю 2 или кольцевая сумма, поскольку позволяет представлять любую часть графа как линейную комбинацию других его частей.

Табл.6.1 Таблица сложения по модулю 2 булевых переменных 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Напомним правило выполнения сложения по модулю 2 над компонентами единичных векторов ,(табл. 6.1). Эта операция обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, а также рядом дополнительных свойств: 1. , 2. , 3. .

Например,

,

.

Центральный вопрос при изучении векторных пространств – выделение базиса. В качестве базиса трехмерного векторного пространства выбирают ортонормированный базис . Эти же векторы могут служить базисом пространства частей графа, так как любая часть графаможет быть представлена линейной комбинацией графов,и:. К примеру,.

Сделаем выводы из рассмотренного примера.

Выводы.

1. С графом , содержащимребер, связано пространство его частей, причем каждый элемент этого пространства может быть записан как-мерный двоичный вектор.

2. Любой граф, содержащий ребер, имеетчастей, включая пустую часть и сам граф.

3. Размерность пространства частей графа равна , базисом пространства могут быть выбраныграфов, каждый из которых имеет по одной ненулевой координате, причем никакие два базисных графа не содержат одноименных ребер.

4. Любая часть графа может быть представлена линейной комбинацией базисных графов.

Выполняя конъюнкцию и дизъюнкцию компонент двоичных векторов, будем получать графы, которые называют пересечением и объединением графов.

Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, выполним объединение, пересечение и найдем дополнения нескольких частей графа .

,

,

,

.