1.2. Множество и подмножество

Определение 1.2. Множество называютподмножеством множества , если каждый элемент множестваявляется элементом.

Определение 1.3. Отношение между множеством и подмножеством называют отношением включения.

Если множество является подмножеством множества , то говорят, чтовключено в иливключает в себя .

Слова "включено" и "не включено" обозначаются символами: и. Предложениеможет быть прочитано любым из следующих способов: "множествовключено во множество", "множествовключает в себя множество", "множествоявляется подмножеством множества".

Обратим внимание на то, что в определении 1.2 не сказано, имеются ли во множестве элементы, не принадлежащие. Возможны два случая: (1)содержит элементы, не принадлежащие, (2)не содержит элементов, не принадлежащих.

В первом случае множество в некотором смысле "больше" множества, так как кроме всех элементов, входящих в, имеет еще какие-то элементы. В этом случаеназываютправильной частью множества , а отношение междуи– отношением строгого включения. Знак строгого включения "". Предложениеможно читать "строго включено в", или "является правильной частью".

Во втором случае, когда исостоят из одних и тех же элементов, их называютравными множествами =, а отношение между ними –отношением равенства. В случае равенства множеств, справедливы оба включения: и. Поскольку любое множестворавно самому себе, то оно является подмножеством самого себя:.

Таким образом, утверждение истинно для тех множеств, которые либо являются правильной частью, либо равны. Аналогично нестрогое числовое неравенство:, справедливо для всех значений переменной, которые меньшеили равны.

Диаграммы Эйлера-Венна, иллюстрирующие отношение включения, показаны на рис. 1.2.

Пусть – универсальное множество, множестваизаданы своими характеристическими функциямии(), причемявляется подмножеством. По смыслу характеристической функции, очевидно, что при любых значениях аргумента значение характеристической функции подмножества не превосходит значений характеристической функции множества:

.

(1.2)

Характеристические функции равных множеств равны при любом значении :. Если множествоявляется правильной частью множества, то между характеристическими функциями этих множества имеет место строгое неравенство:.

Верны также и обратные утверждения:

1. Если для любого справедливо, то.

2. Если для любого справедливо, то.

Определение 1.4. Множество всех подмножеств множества называютбулеаном множества .

Применяются обозначения: P(A). В этих обозначениях определение 1.4 можно записать так: P(A)=.

Рассмотрим несколько примеров.

Примеры.

1). Запишем булеан множества – =, содержащего два элемента.

P(A)=. Булеан содержит 4=2²элемента.

Составим таблицу элементов булеана и характеристических функций подмножеств множества .

Подмножества множества	Значения характеристических функций подмножеств
	Элементы множества
	0	0
	0	1
	1	0
	1	1

Обратим внимание на то, что любое из подмножеств множества (любой элемент булеана) имеет свой двоичный номер, составленный из значений характеристических функций подмножества на каждом из элементов множества. В данном примере множествосодержит два элемента, следовательно двоичные номера – это всевозможные двумерные двоичные векторы. Таких векторов 4, следовательно и число подмножеств двухэлементного множества тоже равно четырем.

Изобразим схематически отношение включения между подмножествами множества (рис. 1.3).

Все подмножества множества разбиты на три уровня (рис.1.3). На нулевом уровне находится "наименьшее" – пустое множество с характеристической функцией (00). Это множество является подмножеством всех элементов булеана. На первом уровне располагаются два одноэлементных множества. Ни одно из них не является подмножеством другого множества этого же уровня. В таком случае говорят, что множестванесравнимыдруг с другом. На втором уровне расположено "наибольшее" множество, совпадающее с самим множеством.

Двигаясь по диаграмме снизу вверх, получаем последовательность включений множеств. Существует два пути движения по диаграмме: (1) , (2). Движение по первому пути дает последовательность включений, по второму –.

2). Пусть множество =содержит три элемента.

Составим таблицу элементов булеана и их характеристических функций, а также диаграмму отношений включения между его элементами.

Подмножества множества	Значения характеристических функций подмножеств
	Элементы множества
	0	0	0
	0	0	1
	0	1	0
	0	1	1
	1	0	0
	1	0	1
	1	1	0
	1	1	1

Число подмножеств с добавлением элемента удвоилось: булеан трехэлементного множества содержит 8=42=2³подмножеств.

Диаграмма отношений включения представлена на рис. 1.4.

Все подмножества множества разбиты на четыре уровня (см. рис.1.4). Множества одного уровня несравнимы между собой по отношению включения, но двигаясь по любому пути диаграммы, получаем последовательную цепочку включений.

Интересным является вопрос: сколько всего путей существует в диаграмме? Ответить на него достаточно просто, построив так называемое "дерево путей" (рис. 1.5).

Как видно из рис.1.5, существует 6 цепочек включений подмножеств, причем каждая состоит из четырех включений

;;

;;

;.

Отметим, что двоичные векторы играют в теории множеств весьма существенную роль. Они использовались при нумерации областей на диаграммах Эйлера-Венна (см. разд. 1.1). В этом параграфе с их помощью кодируются элементы булеанов множеств. Между элементами булеана множества , содержащего n элементов, и n-мерными двоичными векторами существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому подмножеству множествасоответствует определенный n-мерный двоичный вектор, и наоборот – каждому n-мерному двоичному вектору соответствует единственное подмножество множества.

Отношению включения множеств соответствует отношение "меньше или равно" во множестве двоичных векторов.

Определение1.5. Говорят, что двоичный вектор меньше или равен двоичному вектору, если каждая координата вектора не больше одноименной координаты вектора.

В буквенной форме определение 1.5 имеет следующий вид:

(1.3)

Рассматривая n-мерные двоичные векторы как числа в двоичной системе счисления, можно утверждать, что всего таких векторов существует 2ⁿ, а следовательно любое n-элементное множество содержит 2ⁿ подмножеств. Поэтому булеан множества называют такжемножеством-степенью и, кроме обозначенияP(A), применяют также обозначение 2^A: 2^A=P(A)=.