3.2. Размещения

Пусть – отрезок натурального ряда,,– какое-либо множество,.

Определение 3.1. Размещениями из элементов поэлементов называют функциональные соответствия на множестве .

Примеры.

1. ,.

Двустрочная матрица функционального соответствия на множестве имеет вид:, где. Последовательность– общий вид размещения из двух элементов по 5 элементов. Число таких размещений обозначают символом. В данном случае, согласно правилу умножения,=2⁵=32. Запишем некоторые из размещений:,,,,и т.п.

2. ,. Общий вид двустрочной матрицы функционального соответствия на множестве:, где. Последовательность– общий вид размещений из пяти элементов по два элемента.=5²=25. Некоторые из этих размещений:,,,,,,,,,,и т.п.

Как видно из примеров, размещения отличаются друг от друга либо элементами, либо порядком их расположения, либо тем и другим. При решении некоторых задач более удобным оказывается следующее определение размещений.

Определение 3.1^*. Размещениями из поназывают последовательности, содержащие элементов, взятых из множества, содержащегоэлементов, и отличающиеся друг от друга порядком расположения элементов или самими элементами.

Число размещений из по находят по формуле (3.4).

(3.4)

Пусть ,и,. Если≥, то множество функциональных соответствий на(множество размещений из по ) содержит сюръективные соответствия, в которых каждый элемент изимеетне менее одного прообраза в . Если≤, то среди размещений имеются инъективные соответствия, в которых каждый элемент множестваимеетне более одного прообраза во множестве . В инъективных соответствиях элементы множестваповторяться не могут, иначе один элемент имел бы более одного прообраза. Инъективные размещения из по называют размещениями без повторений.

Определение 3.2. Размещениями без повторений из элементов поэлементов называют инъективные функциональные соответствия на множестве .

Определение 3.2^*. Размещениями без повторений из поназывают последовательности, содержащие элементов, взятых из множества, содержащегоэлементов, и отличающиеся друг от друга порядком расположения элементов или самими элементами, причем, никакие два элемента в любой из таких последовательностей не равны между собой.

Условием существования размещений без повторений является неравенство ≤.

Итак, из множества всех размещений из попри условии≤можно выделить подмножество размещений без повторений.

Найдем число размещений без повторений. Имеем ,,,,≤.

Двустрочная матрица функционального соответствия на множестве имеет вид:

, где .

Последовательность – общий вид размещения изпо. Применим правило умножения для подсчета числа таких последовательностей.

Существует способов выбрать элемент, так как на это место можно поставить любой из элементов множества. После выбораостаетсяспособ выбрать элемент. После выбора двух первых элементов имеетсявозможности выбрать элемент,–, и т.д.,–. Таким образом, существуетпоследовательностей указанного вида. Но такие последовательности и есть размещения изпобез повторений. Итак, имеем формулу:

,

(3.5)

где символ обозначает число размещений без повторений изпо.

Поскольку множество размещений без повторений является подмножеством всех возможных размещений из по(≤), справедливо неравенство≤, причем равенство возможно лишь в случае==1.

Пример.

Сколько существует различных четырехзначных чисел, записанных цифрами 1,2,3,4,5? Сколько среди них записаны разными цифрами?

Четырехзначное число имеет четыре разряда: . В каждый разряд может попасть любая из пяти цифр:. Если цифры в разрядах могут повторяться, то запись числа есть размещение с повторением из 5 по 4. Число таких размещений. Если повторение цифр запрещено, то имеем размещения без повторений:.

Итак, существует 625 четырехзначных чисел, записанных цифрами 1,2,3,4,5, среди них 120 чисел, в записи которых цифры не повторяются.

Формулу (3.5) удобно представлять с использованием факториалов.

Напомним, что символ читают: "эн-факториал". Он обозначает произведение последовательных натуральных чисел от 1 до.

(3.6)

Для удобства использования этого символа, договорились считать нуль-факториал равным 1, и единица-факториал также равным 1 (формулы (3.7)).

, .

(3.7)

С использованием символа факториала формулу (3.5) можно переписать следующим образом:

(3.8)

В самом деле, если правую часть равенства (3.5) умножить и разделить на , то получим формулу (3.8).