2. Бинарные отношения

2.1. Основные понятия

Пусть – какое-либо множество.

Определение 2.1. Декартовым квадратом множества называют множествовсех пар элементов этого множества.

Например, декартов квадрат множества ={a,b,c} – это множество всех пар элементов a,b и c: ={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}.

Определение 2.2. Бинарным отношением на множестве называют подмножествомножества.

Так ={(a,a),(a,c),(b,a),(b,c)}; – график бинарного отношения на множестве.

Определение 2.3. Если – бинарное отношение на множестве и, то элементназываютобразом элемента в отношении , элемент–прообразом элемента в отношении , множество всех образов элементаобразуютполный образ этого элемента, а множество всех прообразов элемента – полный прообраз в отношении . Множество образов всех элементовсоставляютполный образ множества , а множество прообразов всех его элементов –полный прообраз множества в отношении.

Поясним приведенные термины на примере отношения ={(a,a),(a,c),(b,a),(b,c)} (={a,b,c}).

Термин	Элементы множества					Полный образ множествав отношении
Образэлемента множествав отношении					-	{,}

Термин	Элементы множества					Полный прообраз множествав отношении
Прообразэлемента множествав отношении			-			{}

Бинарное отношение может быть задано следующими способами.

1. График бинарного отношения. Если множество конечно, то график– это список пар из множества, в которых элементы соединены отношением. Если– это часть числовой оси или вся ось, то график может быть представлен геометрически в системе координат.

2. Характеристическое свойство бинарного отношения. Характеристическое свойство – это свойство, определяющее характер связи между элементами в парах. Для обозначения характеристического свойства употребляется символ "". Например, : "a старше b" (на множестве людей), : "" (на множестве чисел) и т.п.

3.Граф бинарного отношения. Граф бинарного отношения – это чертеж, состоящий из точек (вершин графа) и направленных отрезков или дуг (ребер графа). Вершины графа отношенуют элементам множества . Ребра графа соединяют элементы множествас их образами. Например, граф бинарного отношения={(a,a),(a,c),(b,a),(b,c)} на множестве ={a,b,c} будет выглядеть так (рис. 2.1).

4. Характеристическая функция. Характеристическая функция бинарного отношенияна множестве– это функция от двух аргументовитакая, что

(2.1)

Например, характеристическую функцию отношения (см. рис.2.1) можно записать в виде таблицы:

1	0	1	1	0	1	0	0	0

Значение характеристической функции , если высказываниеистинно, и, если это высказывание ложно.

Используя термины "истина" и "ложь" характеристическую функцию можно записать следующим образом:

(2.2)

Характеристическую функцию бинарного отношения удобно записывать в виде матрицы бинарного отношения.

Определен 2.4. Матрица бинарного отношения на множестве, содержащемэлементов, называют квадратную матрицу порядка , элементы которойимеют значения:

(2.3)

Примечание. В теории графов (см. главу 5) матрицу бинарного отношения называютматрицей инциденций.

Матрица отношения (рис. 2.1) – это матрица .