Тема 4. Повторение независимых испытаний

31. Институтом для студенческих общежитий приобретено 5 телевизоров. Для каждого из них вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока равна 0,1. Определить вероятность того, что в течение гарантийного срока не выйдут из строя: а) один; б) два; в) три; г) четыре; д) пять телевизоров.

32. В результате систематически проводимого контроля качества изготовляемых предприятием деталей установлено, что брак составляет в среднем 5%. Сколько изготовленных деталей нужно взять, чтобы наиболее вероятное число годных среди них было равно 60шт.?

33. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 4 абонента?

34. Вероятность того, что саженец ели прижился и будет расти, равна 0,8. Посажено 400 саженцев ели. Какова вероятность того, что нормально вырастут не менее 250 деревьев?

35. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.

36. Вероятность того, что изготовленная рабочими деталь отличного качества, равно 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 деталей окажется отличного качества: 1) 80 деталей; 2) от 70 до 85 деталей; 3) не менее 85 деталей.

37. В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода каждого холодильника из строя в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребует:1) 4 холодильника; 2) не менее 2 холодильников; 3) не более 1 холодильника; 4) не менее 1 холодильника.

38. Известно, что в большой партии радиоламп 90% стандартных. Найти вероятность того, что из 300 отобранных радиоламп стандартных окажется: 1) ровно 270; 2) от 260 до 275; 3) не менее 275.

39. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час, равно 2. Найти вероятность того, что за 3 часа поступит заявок: 1) от 1 до 6; 2) не менее 7.

40. В среднем в магазин заходит 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет: 1) 6 человек; 2) не более 1 человека; 3) не менее 1 человека.

Тема 5. Дискретные случайные величины.

Закон распределения дискретных случайных величин.

Числовые характеристики дискретных случайных величин

41. Производится последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается лишь в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить закон распределения случайного числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,9. Найти математическое ожидание числа испытанных приборов. Найти функцию распределения F(X) и построить ее график; найти M(X), σ(X); построить многогранник распределения.

42. Известно, что в партии из 20 телефонных аппаратов 5 недействующих. Случайным образом из этой партии взято 4 аппарата. Построить закон распределения случайной величины X – числа недействующих аппаратов из отобранных. Найти дисперсию этой случайной величины. В каких единицах она измеряется? Построить интегральную функцию распределения случайной величины X, многоугольник распределения.

43. Сырье на завод привозят от трех независимо работающих поставщиков. Вероятность своевременного прибытия сырья от первого поставщика равна 0,4, от второго – 0,7, от третьего – 0,6. Найти математическое ожидание M(X), дисперсию Д(X) числа своевременных поставок сырья. Найти функцию распределения и построить ее график.

44. Завод получает сырье на автомашинах от трех независимо работающих поставщиков. Вероятность прибытия автомашины от первого поставщика равна 0,2, от второго – 0,3 и от третьего – 0,1. Составить распределение числа прибывших автомашин. Найти математическое ожидание и дисперсию полученной случайной величины. Построить график интегральной функции распределения F(X).

45. Вероятность изготовления бракованной детали p=0,1. Изготовлено 4 детали. X – случайное число бракованных деталей. Построить закон распределения случайной величины X, найти ее математическое ожидание и дисперсию. Построить график интегральной функции распределения, многоугольник распределения.

46. Даны законы распределения независимых случайных величин

X	-3	0	1
P	0,1	0,3	0,6

Y	0	3	6
P	0,2	0,5	0,3

Составить законы распределения случайных величин: а) X*Y; б) X+Y. Найти M(X+Y), Д(X+Y). Справедливо ли равенство M(X)*M(Y)=M(X*Y)?

47. X₂	2	3	4	5
    P	0,2	0,1	0,2	0,5

    Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбиваемых каждым из низ при одном выстреле, являются случайными величинами X₁ и X₂, которые характеризуются следующими законами распределения:

X₁	3	4	5
P	0,3	0,4	0,3

Результаты стрельбы одного стрелка не влияют на результаты стрельбы другого. Составить закон распределения числа очков, выбиваемых командой, если стрелки сделают по одному выстрелу. Убедиться в справедливости равенства Д(X₁+X₂)=Д(X₁)+Д(X₂).

48. Производятся выстрелы из орудий с вероятностью попадания в цель 0,9 при каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания, но делается не более 4 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины X, если: а) X – число произведенных выстрелов; б) X – число промахов; в) X - число попаданий. Найдите математические ожидания всех найденных случайных величин.

49. Фермер ежегодно продает на рынке 5, 8, 10 и 12 телят, причем вероятности отдельных значений числа проданных телят таковы:

Число телят	5	8	10	12
Вероятности	0,1	0,2	0,4	0,3

Цена одного теленка в разные годы может равняться 80 и 100 дол., причем вероятности этих цен равны соответственно 0,6 и 0,4. Какова средняя годовая выручка фермера от продажи телят?

50. Количество X битых яиц в партии из 100 диетических яиц характеризуется законом распределения:

X	0	1	2	3	4	5
P	0,05	0,1	0,35	0,3	0,15	0,05

Составить функцию распределения этой случайной величины и начертить ее график.

Определить вероятность того, что в партии не менее трех разбитых яиц.

Найти среднюю сумму, которую приходится списывать на бой, если яйца продают по цене 12р. 50к. за десяток.

Найти дисперсию случайной величины X и указать, в каких единицах она измеряется (в рублях, в процентах, в штуках и т.п.).