6.4. Уравнения прямой в трехмерном пространстве

При переходе к трехмерному пространству с заданной декартовой прямоугольной системой координат происходит естественное обобщение уравнений прямой на плоскости на трехмерный случай. Запишем основные виды уравнений прямой в трехмерном пространстве,

Название уравнения	Вид уравнения	Геометрический смысл чисел, входящих в уравнение
Уравнение прямой , проходящей через две заданные точки		, - координаты двух заданных точек, через которые проходит прямая.
Каноническое уравнение прямой		- координаты заданной точки прямой ;- координаты направляющего вектора.
Параметрическое уравнение прямой		Геометрический смысл итот же самый, что и в каноническом уравнении,- свободная переменная, параметр.

Обратим внимание на то, что все, приведенные в таблице, виды уравнений прямой могут быть представлены как системы уравнений двух плоскостей.

Например, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

В уравнении плоскости :,,; координатаотсутствует, следовательно, плоскостьили, что то же самое,‌‌ ‌. Аналогично для плоскости:

или ‌ ‌;,,.

Также и остальные уравнения прямой можно представить как системы уравнений двух плоскостей, параллельных координатным плоскостям. В общем случае плоскости , линией пересечения которых является прямая , могут быть расположены произвольно относительно системы координат. Систему уравнений двух плоскостей называютобщим уравнением прямой. Общее уравнение прямой - это уравнение линии пересечения данных плоскостей:

.

(6.17)

В заключение приведем векторное уравнение прямой:

,

(6.18)

где =- радиус-вектор произвольной точки, лежащей на прямой,=- радиус-вектор известной, фиксированной точки этой прямой,- направляющий вектор прямой. Векторное уравнение прямой, лежащей в плоскости, имеет вид (6. ), но все векторы, входящие в него, имеют лишь по две координаты.

6.5. Преобразование координат

Рассматривая уравнения плоскости и прямой, мы подчеркивали их связь с выбранным репером. В этом разделе рассмотрим, как меняются эти уравнения при переходе от одного репера к другому.

Будем рассматривать геометрические пространства с ортонормированными базисами, то есть базисами состоящими из единичных векторов, попарно перпендикулярных друг другу. Реперы с такими базисами могу отличаться друг от друга (а) точкой приложения базиса, (б) направлениями базисных векторов.

Пусть точки приложения базиса (,) – точкии. Точкаимеет радиусы-векторыв репере, ив репере. Точкав репереимеет радиус-вектор.

	Так как =+, то формулы перехода от одного репера к другому имеют вид: или , (6.19) где -координаты точкив репере,- координаты той же точки в репере,- координаты точки(нового начала координат) в репере.

Равенства (6.19) можно записать более компактно:

,

(6.20)

где - радиус вектор точкив репере,- радиус вектор той же точки в репере,- радиус-вектор «нового» начала координат в «старом» репере.

	Пусть векторы ив репереимеет координаты=(),=(), то есть=,=. Радиус-вектор точкив реперахи: = =+= ==.

Следовательно, имеем:

,

или в матричной форме:

или

(6.21)

где - столбец координат точкив репере,=матрица перехода от реперак реперу, столбцами которой являются координаты векторовив репере,=- столбец координат точкив репере.

Если найти матрицу , обратную матрице, то можно выразитьчерез:

=или,

(6.22)

Столбцы матрицы - это координаты векторовив репере.

В случае трехмерного геометрического пространства будут справедливы равенства (6.21 ) и (6.22), но векторы ибудут содержать по три координаты, а матрицыииметь три строки и три столбца.

Таким образом, переход от одного репера к другому удобно выполнять в два шага:

Шаг 1. Выполнить перенос начала координат, пользуясь формулой: .

Шаг 2. Выполнить поворот осей координат, пользуясь формулой:.

Пример. Прямая задана своим общим уравнением:

: .

Записать уравнение этой прямой в системе координат, начало которой является какая-либо точка прямой ,сонаправлена вектору нормали плоскости, осьпроходит по прямой, базис является левой тройкой векторов.

Решение.

1.Найдем какую-либо точку лежащую на прямой и перенесем в нее начало координат. Пусть

.

Новое начало координат: . Пользуясь формулами, запишем уравнение прямой в системе координат с началом в точке:

.

2. Найдем векторы, сонаправленные новым координатным осям, и, нормировав их, получим новый базис.

Вектор нормали плоскости :. Напомним, что координаты вектора нормали к плоскости – это коэффициенты перед переменными в ее уравнении..

Вектор, сонаправленный прямой , можно найти как векторное произведение векторов нормалей к плоскостями:

.

,

Вектор, сонаправленный найдем, вычислив векторное произведениеи. Напомним, что тройка (- левая. (см. стр. ).

=)= (2,-4,-2)=-2(1,-2,-1),.

Итак, матрица перехода от базисак базисуимеет вид:

== -

(Вычисление элементов матрицы выполните самостоятельно).

3. Умножим нормальные векторы плоскостей ина матрицу:

= - =(0,0,-),

= - =(0,-,-).

Уравнения плоскостей ,и общее уравнение прямойв репереимеет вид:

.

Обратим внимание на следующий факт: , то есть,чтобы найти матрицу, обратную матрице перехода от одного ортонормированного базиса к другому, достаточно ее транспонировать.

1Вектор, перпендикулярный плоскости, называютнормалью к этой плоскости.

112