6.3. Уравнения прямой на плоскости

Пусть на плоскости задан ортонормированный репер (или декартова прямоугольная система координат) и указаны координаты двух точеки. Проведем через эти точки прямую. Возьмем на ней произвольную точку, не совпадающую сили. Рассмотрим векторы=и=. Эти векторы коллинеарны:‌ ‌, а следовательно их координаты пропорциональны:

.

(6.10)

Координаты любой точки, лежащей на прямой, удовлетворяют данному равенству. Если же точка не лежит на прямой, то ее координаты данному равенству не удовлетворяют. Равенство (6.10) называют уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение (6.10) содержит две переменные и четыре числа:. Выполнив операции над числами и несложные преобразования с равенством (6.10), получаем уравнение:

,

(6.11)

где ,,.

Обратим внимание на то, что уравнение (6.11) совпадает с уравнением плоскости перпендикулярной . Такое совпадение не случайно: прямую лежащую в плоскостиможно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей:и, а уравнение (6.11) - как решение системы:

.

(6.12)

Пусть теперь прямая задана вторым способом (см. стр. ), то есть задана точка , через которую она проходит, и вектор, которому прямая параллельна. Заданный векторназываютнаправляющим вектором прямой. Воспользовавшись теми же рассуждениями, что и при выводе уравнения прямой, проходящей через две заданны точки, получим уравнение:

.

(6.13)

Уравнение (6.13) называют каноническим уравнение прямой. Выполнив преобразования равенства (6.13), вновь приходим к уравнению (6.11), либо к системе (6.12), где ,,. Рассмотрим векторы, и. Скалярное произведение, следовательно, следовательно векторесть вектор перпендикулярный прямой, то естьвектор нормали к прямой. Это приводит к выводу, который часто используется при решении задач: числа в уравнении прямой на плоскостиесть координаты вектора нормали к прямой.

Из уравнения (6. ), приравняв дроби к параметру , получимпараметрическое уравнение прямой:

.

(6.14)

Если из канонического уравнения прямой выразить и ввести соответствующие

обозначения, получим еще один вид уравнения прямой на плоскости: , (6.15) где ==- тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс илиугловой коэффициент прямой, =-начальная ордината (ордината точки пересечения прямой оси ординат).

Пусть - какая либо прямая на плоскости. Все уравнения прямойна плоскости с заданной системой координат можно привести к виду: . Для более компактной записи это уравнение принято записывать так:

,

(6.16)

что, естественно, не меняет геометрический смысл чисел и:- вектор нормали к прямой. Легко показать, чтоесть расстояние от начала координат до прямой. Уравнение (6.16) называютобщим уравнением прямой на плоскости.

Справедлива теорема:

Теорема об общем уравнении прямой на плоскости. Всякую прямую на плоскости в любом репере можно задать уравнением . Геометрическим образом такого уравнения в любом репере является прямая.