6. Уравнения плоскости и прямой

6.1. Геометрические способы задания прямой и плоскости

Приведем некоторые сведения из школьного курса геометрии, касающиеся прямой и плоскости. Известно, что математические утверждения делятся на аксиомы и теоремы. Аксиомы принимаются без доказательства, а теоремы являются логическими следствиями из системы аксиом. Не будем разделять аксиомы и теоремы, объединяя их общим термином «утверждения».

Утверждение 1. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Утверждение 2. Через любую точку, не лежащую на прямой, проходит другая прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Утверждение 3. Через любые три точки, не лежащие на прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Утверждение 4. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.

Утверждение 5. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная плоскости и притом только одна.

Утверждение 6. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Опираясь на утверждения 1-6, и учитывая, что любой отрезок (направленный или ненаправленный) полностью определяет прямую, частью которой он является, перечислим некоторые способы задания плоскости.

Способы задания прямой

• •	Способ 1. Прямая однозначно определена, если заданы две точки, через которые она проходит
• • •	Способ 1. Прямая однозначно определена, если заданы точка, через которую она проходит, и отрезок, параллельный прямой и не лежащий на ней.

Способы задания плоскости

	Способ 1. Плоскость однозначно определена, если указана точка, лежащая в этой плоскости, и вектор (направленный отрезок), перпендикулярный этой плоскости.
• • •	Способ 2. Плоскость однозначно определена, если указаны три точки, лежащие в этой плоскости.
	Способ 3. Плоскость однозначно определена, если указаны точка, лежащая в этой плоскости, и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости.

6.2.Уравнения плоскости

Выберем в пространстве декартову прямоугольную систему координат с базисом . В некоторых случаях, вместо термина «система координат» удобнее применять термин «репер»

Определение 6.1. Репером или системой координат в пространстве называют упорядоченный набор , состоящий из зафиксированной точки пространства, называемойначалом координат, и базиса пространства.

Каждая точка определяет вектор =, приложенный к началу координат. Координатами вектора=являются координаты точки . Вектор называютрадиус-вектором точки .Любая пара точек и определяет вектор=, координатами которого являются разности координат точек и :=.

Пусть=- точка и вектор в этом пространстве. Они однозначно определяют плоскость , проходящую через точку и перпендикулярную вектору¹. Пусть также - любая точка, лежащая в плоскости , не совпадающая с . Отрезок, а значит и векторперпендикулярны вектору. Следовательно, скалярное произведение векторовиравно нулю:

==0.

Переобозначим: . Тогда координаты любой точки, лежащей в плоскости , удовлетворяют равенству:

(6.1)

В то же время, если точка не лежит в плоскости , то ее координаты не удовлетворяют равенству (6.1). Равенство (6.1) называютуравнением плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.

Раскроем скобки в уравнении (6.1) и обозначим число . Равенство (6.1) примет вид:

(6.2)

которое называют общим уравнение плоскости.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении (6.2) очевиден: то координаты известного вектора нормали к плоскости =(). Выясним геометрический смысл свободного члена уравнения, числа. Найдем=, то есть вектор сонаправленныйи имеющий единичную длину (см. стр ).=(), причем=1 или. Чтобы нормировать вектор, надо его координаты (), разделить на его длину, то есть на число . Получим:

=()=.

Разделим уравнение (6.2) на длину вектора :

(6.3)

где . Уравнение (6.3) называютнормированным уравнением плоскости.

Рассмотрим вектор =(). При любом он коллинеарен вектору, его начало совпадает с началом координат. Подберемтаким, чтобы конец векторалежал на плоскости. Тогда- это расстояние от начала координат до плоскости. Концом искомого вектора является точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (6.3):

.

Обозначим расстояние от начала координат до плоскости . Тогда=при, то есть:

.

(6.4)

Итак, абсолютная величина свободного члена в общем уравнении плоскости есть произведение расстояния от начала координат до плоскости на длину ее нормального вектора. Если уравнение плоскости нормировано, то абсолютная величина свободного члена есть расстояние от начала координат до плоскости.

Пусть заданы три точки,и.Эти точки однозначно определяют плоскость, в которой они лежат.Пусть также - любая точка, лежащая в плоскости , не совпадающая ни с одной из точек,или. Векторы,икомпланарны. Следовательно, их смешанное произведение () равно нулю (см. стр. ), то есть справедливо равенство:

=0,

(6.5)

которое называют уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пользуясь свойствами определителей, представим определитель в равенстве (6.5) в виде суммы двух определителей:

=+.

Первой строкой определителя являются переменные,и. Разложив его по первой строке, получим:

=-

-+

+=,

где - коэффициенты перед переменными, полученные в результате вычислений. Обозначим число, полученное в результате вычисления определителячерез.

После этих преобразований, уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, примет вид общего уравнения плоскости: .

Плоскость однозначно определена, если указаны точка, лежащая в этой плоскости, и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости. Пусть - точка, лежащая в плоскости ,=и=- два неколлинеарных друг другу вектора, причем оба параллельны плоскости. Векторное произведение векторови

==

перпендикулярно обоим векторам, а следовательно, перпендикулярно и плоскости . Если выбратьвектором нормали к плоскости:=, то имеем случай, когда плоскость задана способом 1. Дальнейшие рассуждения аналогичны приведенным выше. После соответствующих выкладок, получаем:

=0

(6.6)

Раенство (6. 6) называют детерминантным уравнением плоскости. Легко видеть, что введя соответствующие обозначения и выполнив несложные преобразования, мы вновь получаем общее уравнение плоскости.

Таким образом, как бы ни была задана плоскость, в выбранном репере она имеет уравнение , где-переменные, координаты произвольной точки плоскости,- координаты вектора, перпендикулярного плоскости,- расстояние от начала координат до плоскости.

Если плоскость параллельна одной из осей координат, то вектор нормали перпендикулярен этой оси, и соответствующая его координата равна 0:

‌‌ ‌;

‌‌ ‌;

‌ ‌.

Если плоскость перпендикулярна одной из осей координат, то вектор нормали параллелен этой оси, и две его координаты становятся равными 0:

‌;

;

.

Проанализируем общее уравнение плоскости с алгебраической точки зрения. Рассмотрим случай, когда ,,. Уравнениеявляется линейным уравнением с тремя переменными (). Две любые переменные могут принимать произвольные значения, то есть являются свободными переменными, а третья выражается через них, то есть является базисной. Пусть свободные переменные – этои, а- базисная переменная. Разделим уравнение на:или, где. Положим:,. Множество решений уравнения имеет вид:

=++

(6.7)

Перепишем последнее равенство в виде системы:

(6.8)

Система (6.8) представляет собой параметрическое уравнение плоскости. Ее можно рассматривать как систему трех уравнений с двумя свободными переменными ,и тремя базисными. Свободные переменныеиназываютпараметрами.

Все виды уравнений плоскости могут быть приведены к уравнению: . Справедлива теорема.

Теорема об общем уравнении плоскости. В любом репере произвольная плоскость может быть задана общим уравнением . Геометрическим образом этого уравнения в любом репере является плоскость.

В заключение приведем векторное уравнение плоскости:

,

(6.9)

где =- радиус-вектор произвольной точки плоскости,- радиус-вектор известной, фиксированной точки плоскости,- вектор нормали к плоскости.