Словарь

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

29.05.2015

Размер:

681.47 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ГЛОССАРИЙ

К разделу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

курса «МАТЕМАТИКА»

(ГОС 2000)

для студентов заочной формы обучения специальности

060800 - Экономика и управление на предприятии (машиностроение)

Екатеринбург 2005

Термин	Обозначение	Определение и пояснения
Алгебра линейная		Математическая модель, над объектами которой выполнимы операции умножения на число и сложения, удовлетворяющие аксиомам линейной алгебры; Математическая дисциплина.
Аксиомы линейной алгебры	-	Аксиомы сложения:	Аксиомы умножения на число:
Вектор	…	Основное, неопределяемое понятие линейной алгебры, элемент множества, в котором определены линейные операции.
Линейные операции над векторами	-	Умножение вектора на число и сложение векторов.
Вектор арифметический		Последовательность чисел, координат вектора, записанная либо строкой (вектор-строка), либо столбцом (вектор-столбец)
Размерность арифметического вектора	-	Число координат вектора.
Нуль-вектор арифметический		Арифметический вектор, все координаты которого – нули.
Умножение на число арифметического вектора		Умножение на число x каждой координаты вектора.
Сложение арифметических векторов одинаковой размерности		Сложение соответствующих координат векторов.
Векторы арифметические коллинеарные		Векторы и одинаковой размерности, связанные равенством: (); векторы, координаты которых пропорциональны.
Векторы арифметические противонаправленные		Коллинеарные векторы, для которых .
Векторы арифметические противоположные		Противонаправленные векторы, для которых .
Векторы арифметические равные		Векторы, состоящие из одинаковых координат.
Векторы арифметические сонаправленные		Коллинеарные векторы, для которых .
Скалярное произведение арифметических векторов		Действительное число, сопостовляемое каждой паре векторов одинаковой размерности, и удовлетворяющее следующим аксиомам: . При ортонормированном базисе вычисляется по формуле: , где
Норма (длина) арифметического вектора		Неотрицательное действительное число, сопостовляемое вектору. В евклидовых пространствах с ортонормированным базисом вычисляется по формуле: , где - координаты вектора .
Ортогональные арифметические векторы	-	Векторы одинаковой размерности, скалярное произведение которых равно нулю.
Евклидово пространство	-	Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение


Вектор геометрический		Направленный отрезок; отрезок, имеющий начало и конец.
Векторы геометрические коллинеарные		Направленные отрезки, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Векторы геометрические противонаправленные		Коллинеарные геометрические векторы, лежащие в разных полуплоскостях, на которые разбивает плоскость прямая, проведенная через их начала.
Векторы геометрические равные		Сонаправленные геометрические векторы, одинаковой длины.
Векторы геометрические сонаправленные		Коллинеарные геометрические векторы, лежащие в одной полуплоскости, границей которой является прямая, проведенная через их начала.
Вектор геометрический свободный	…	Множество равных друг другу направленных отрезков.
Единичный геометрический вектор		Направленный отрезок, длина которого равна единице длины.
Длина геометрического вектора		Длина направленного отрезка.
Нуль-вектор геометрический		Вектор нулевой длины, точка.
Умножение геометрического вектора на число		Операция, сопоставляющая заданным числу и геометрическому вектору направленный отрезок , по следующему правилу: 1., 2.
Сложение геометрических векторов		Операция, сопоставляющая двум заданным геометрическим векторам третий вектор, который находят по правилу треугольника или правилу параллелограмма.
Правило треугольника	-	Приложить вектор к концу вектора . Тогда вектор, начало которого совпадает с начало вектора , а конец – с концом вектора , есть сумма векторов и .
Правило параллелограмма	-	Приложить векторы и к одной точке и построить на них параллелограмм. Тогда вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов и , а конец – с противолежащей вершиной параллелограмма, есть сумма векторов и .
Скалярное произведение геометрических векторов		Число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними: =
Векторное произведение геометрических векторов		Вектор, длину и направление которого находят по следующему правилу:
Компланарные векторы		Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельных плоскостях.
Правая тройка векторов, левая тройка векторов		Пусть и - ненулевые некомпланарные векторы. Если, приложив векторы и к одной точке и глядя из конца вектора , мы видим движение от вектора к вектору против часовой стрелки, то тройка - правая, если по часовой стрелке – левая.
Смешанное произведение геометрических векторов		=
Векторное пространство	Vⁿ, Rⁿ	Множество геометрических или арифметических векторов, замкнутое относительно операций умножения на число и сложения
Система векторов	()	Последовательность векторов какого-либо векторного пространства
Линейная комбинация векторов	-	Вектор вида: , где - любые действительные числа.
Нулевая линейная комбинация векторов	-	Линейная комбинация векторов, равная нуль-вектору.
Вырожденная линейная комбинация векторов	-	Линейная комбинация векторов, в которой все числовые коэффициенты равны нулю.
Линейно независимая система векторов	-	Система векторов, единственная нулевая комбинация которых вырожденна.
Свободная система векторов	-	Другое название линейно независимой системы векторов.
Линейно зависимая система векторов	-	Система векторов, которая помимо вырожденной имеет другие (невырожденные) нулевые линейные комбинации
Максимальная свободная система векторов пространства	-	Свободная система векторов, добавление к которой любого вектора пространства делает ее линейно зависимой.
Базис векторного пространства	-	Максимальная линейно независимая система векторов векторного пространства.
Размерность векторного пространства	-	Число векторов в максимальной свободной системе векторов этого пространства.
Разложение вектора по базису	-	Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов. Такое представление при фиксированном базисе единственно.
Векторы базисные	()	Векторы, составляющие выбранный базис векторного пространства.
Ортонормированный базис	-	Базис, все векторы которого попарно ортогональны и имеют длину (норму) равную единице. В пространствах геометрических векторов ортонормированные базисы имеют обозначения: () – базис трехмерного пространства геометрических векторов V³, ) – базис двумерного пространства V².
Числовая ось	Ox, Oy, Oz….	Прямая, к одной из точек которой приложен единичный вектор. Точку O, к которой приложен единичный вектор, называют началом числовой оси. Каждой точке P числовой оси соответствует определенное действительное число x, равное , если сонаправлен единичному вектору, и равное -, если противонаправлен единичному вектору. Аналогично, каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой оси.
Проекция точки M на прямую	M’	Основание перпендикуляра к прямой, проходящего через точку M,
Проекция вектора (геометрического) на ось		Пусть и - проекции начала и конца вектора на прямую . .
Проекции вектора (геометрического) на вектор,		Проекция вектора на ось, сонаправленную вектору .
Проекция вектора (геометрического) на плоскость		Вектор , где и - основания перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на плоскость .
Орт вектора		Вектор единичной длины, сонаправленный .
Система координат	-	Способ установления взаимно однозначного соответствия между пространствами геометрических и арифметических векторов одинаковой размерности.
Декартова прямоугольная система координат	-	Ортонормированный базис приложен к точке пространства и через базисные векторы проведены числовые оси - ось абсцисс, .- ось ординат, - ось аппликат, точка – начало координат, Координатами геометрического вектора являются проекции вектора на оси координат.
Линейная оболочка системы векторов	-	Множество всех линейных комбинаций этих векторов.
Линейное подпространство пространства Rⁿ	-	Подмножество множества Rⁿ, замкнутое относительно линейных операций.
Сумма линейных подпространств L₁ и L₂ пространства Rⁿ	L₁+L₂	Подмножество множества Rⁿ, состоящее из всех сумм векторов пространств L₁ и L₂.
Пересечение линейных подпространств L₁ и L₂ пространства Rⁿ		Подмножество множества Rⁿ, состоящее из всех общих векторов пространств L₁ и L₂.
Объединением линейных подпространств L₁ и L₂ пространства Rⁿ		Подмножество множества Rⁿ, состоящее из всех векторов, принадлежащих пространству L₁ или пространству L₂.
Матрица, размерности pq	=	Прямоугольная таблица чисел, состоящая из p строк и q столбцов.
элемент матрицы		Число, принадлежащее матрице, стоящее в i-той строке и j-том столбце.
Транспонированная матрица		Матрица, полученная из матрицы путем замены строк столбцами.
Квадратная матрица		Матрица, в которой число строк равно числу столбцов.
Порядок квадратной матрицы	-	Число строк или число столбцов квадратной матрицы.
Главная диагональ матрицы	-	Диагональ, идущая сверху вниз и слева направо, проходящая через элементы .
Побочная диагональ квадратной матрицы	-	Диагональ, идущая сверху вниз и справа налево, проходящая через элементы .
Единичная матрица		Квадратная матрица порядка n, по главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные числа – нули.
Диагональная матрица	-	Квадратная матрица, по главной диагонали которой стоят числа, отличные от нуля, а все остальные – нули.
Верхнетреугольная матрица	-	Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят числа, отличные от нуля, выше главной диагонали – числа не все равные нулю, ниже главной диагонали - все числа равны нулю
Нижнетреугольная матрица	-	Квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят числа, отличные от нуля, ниже главной диагонали – числа не все равные нулю, выше главной диагонали - все числа, равные нулю.
Равенство матриц		Матрицы одинаковой размерности, для которых выполняется равенство: ,
Умножение матрицы на число		Умножение на число каждого элемента матрицы
Сложение матриц		Сложение соостветствующих элементов матриц.
Подматрица.	-	Часть матрицы , оставшаяся после вычеркивания некоторого количества строк или/и столбцов матрицы.
Произведение матриц	×	Матрица , где .
Коммутирующие матрицы	-	Матрицы, для которых выполняется равенство: называют
Обратная матрица		Матрица, для которой выполняются равенства: где A – квадратная матрица порядка n, E – единичная матрица порядка n.
Определитель матрицы второго прядка	=	Числовая характеристика матрицы второго порядка, вычисляемая по правилу:
Минор		Определитель квадратной подматрицы.
Алгебраическими дополнениями элемента матрицы A		=, где - минор, определитель матрицы, полученной вычеркиванием i-той строки и j-того столбца матрицы A.
Присоединенная матрица		Матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения матрицы A^T.
Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы	-	Следующие операции над строками (столбцами) матрицы: Поменять местами строки (столбцы) матрицы. Умножить строку (столбец) матрицы на число, отличное от нуля. Прибавить к строке (столбцу) матрицы линейную комбинацию других строк (столбцов) матрицы. Вычеркнуть нулевую строку (столбец) матрицы.
Эквивалентные матрицы		Матрицы, полученные одна из другой путем элементарных преобразований.
Ранг матрицы		Число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)	-	Система равенств, вида: , где = числовая матрица, - вектор столбец чисел, - вектор столбец переменных.
Решение СЛАУ	-	Набор значений неизвестных, при подстановке которых в систему все равенства системы становятся верными числовыми равенствами.
Несовместная СЛАУ	-	СЛАУ, не имеющая решений.
Равносильные	-	СЛАУ, все решения которых одинаковы.
Формулы Крамера	-	Формулы вычисления решения совместной СЛАУ с квадратной матрицей: , где - главный определитель системы (определитель главной матрицы), определители - побочными определителями системы. Чтобы получить побочный определитель , надо в главной матрице системы заменить j-тый столбец столбцом свободных членов СЛАУ
Метод Гаусса решения СЛАУ	-	Решение СЛАУ последовательным выполнением прямой и обратной процедур Гаусса. Прямая процедура - сведение путем элементарных преобразований расширенной матрицы системы к одному из следующих трех видов:(1) , (2) , (3) , где r – ранг главной матрицы системы, E – единичная матрица, - столбец свободных членов преобразованной матрицы. Обратная процедура – решение системы с преобразованной матрицей.
Однородная СЛАУ	-	Система, столбец свободных членов которой состоит из нулей:.
Базисные переменные	-	Переменные СЛАУ, соответствующие единичной матрице после прямой процедуры Гаусса.
Свободные переменные	-	Переменные СЛАУ, не являющиеся базисными.
Общее решение СЛАУ.	-	Множество всех решений СЛАУ в случае, когда ранг главной матрицы системы r равен рангу расширенной матрицы системы, но меньше числа неизвестных n. Общее решение включает в себя произвольные константы .
Частное решение СЛАУ	-	Решение СЛАУ, полученное из общего решения путем придания значений произвольным константам.
Фундаментальная система решений однородной СЛАУ.	-	Система столбцов , первые r компонент которых соответствуют базисным переменным, последние (n-r) – свободным переменным, причем в каждом векторе свободная переменная принимает значение 1, а все остальные свободные переменные – значения 0.
Отображение множества X во множество Y	-	Правило или закон, по которому каждому элементу множества X поставлен в соответствие определенный (единственный) элемент множества Y.
Линейный оператор, действующий на пространстве со значениями в пространстве		закон , который каждому вектору ставит в соответствие однозначно определенный вектор , при этом выполнены два условия: аддитивность: любого числаи любого вектора , однородность: , для , для любых векторов
матрица линейного оператора в базисах, .		матрица= такая, что =, где , .
Сумма линейных операторов ,	+	линейный оператор такой, что (+)= +.
Произведение оператора на число α	α	оператор (α) такой, что (α)=(α).
Произведение оператора на оператор	×	оператор ×такой, что ×=()×
Собственный вектор оператора	-	называют ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству: =. .
Собственное направление оператора	-	все векторы , где - собственный вектор оператора, а - любое действительное число.
Собственное значение оператора	-	число , для которого выполняется равенство: =, где - ненулевой вектор
характеристическим уравнением матрицы .		Уравнение для нахождения собственных значений матрицы A.
Репер или система координат в пространстве		упорядоченный набор , состоящий из зафиксированной точки пространства , называемой началом координат, и базиса пространства.
Радиус-вектор точки .	=	вектор =, приложенный к началу координат. Координатами вектора являются координаты точки .
Общее уравнение плоскости		уравнение вида: . Координаты всех точек плоскости удовлетворяют уравнению, координаты точек не лежащих на плоскости ему не удовлетворяют.
общее уравнение прямой на плоскости.		уравнение вида: . Координаты всех точек прямой удовлетворяют уравнению, координаты точек. не лежащих на прямой, ему не удовлетворяют
общее уравнение прямой		Система равенств вида: .
ортогональной матрицей.		Матрица , для которой выполняется равенство: .
симметрическим или самосопряженным оператором		Линейный оператор евклидова пространства такой, что для любых векторов и этого пространства выполняется равенство: .
Квадратичная форма в пространстве		однородный многочлен с действительными коэффициентами от координат переменного вектора, то есть выражение:
матрица квадратичной формы		матрица коэффициентов квадратичной формы, симметрична, относительно главной диагонали: .
приведение квадратичной формы к главным осям.		нахождение базиса, в котором квадратичная форма превращается в сумму квадратов своих переменных.
Кривая второго порядка на плоскости		линия, уравнение которой в заданной системе координат имеет вид:
Эллипс		плоская замкнутая кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух фиксированных точек – фокусов эллипса, есть величина постоянная, равная .
Каноническое уравнение эллипса		Уравнение вида:
Гипербола		плоская кривая, модуль разности расстояний от каждой точки которой до двух фиксированных точек – фокусов гиперболы, есть величина постоянная, равная .
Каноническое уравнение гиперболы		Уравнение вида: или.
Парабола		плоская кривая, расстояние от каждой точки которой до фиксированной точки – фокуса параболы, равно расстоянию от этой точки до фиксированной прямой – директрисы параболы.
Каноническое уравнение параболы		Уравнение вида: или ,
Поверхность второго порядка		линия, уравнение которой в заданной системе координат имеет вид:
Эллипсоид		поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: .
Однополостный гиперболоид		поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: .
Двуполостный гиперболоид		поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: .
Эллиптический параболоид		называют поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид: .