Решение

5. Матрица имеет размерность 33, то есть является представлением линейного оператора в пространстве. Собственный вектор матрицы будем искать в виде:.

6. Составим уравнение для отыскания собственных векторов в матричном виде:

3. Перепишем матричное уравнение в виде системы уравнений:

7. Однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее главной матрицы равен 0. Получаем характеристическое уравнение системы и решаем его:

=

=

Корни уравнения находим подбором:,,⁴.

8. Найдем собственные векторы для каждого собственного значения:

; ; ; ; Пусть , тогда собственное направление матрицы, соответствующее собственному значению, задается множеством векторов: , где .

~; . Пусть , тогда собственное направление матрицы, соответствующее собственному значению, задается множеством векторов: , где .

; ; ~; . Пусть , тогда собственное направление матрицы, соответствующее собственному значению, задается множеством векторов: , где .

Если выбрать =,=и=. то,иимеют единичную длину:

,

,

.

В базисе () имеет вид:.

Рассмотрим матрицы перехода от базиса () к базису () и обратно.

Столбцы матрицы =- координаты векторовв базисе (), следовательно- матрица перехода от () к (). Найдем матрицу переходаот () к ():

1. .

2. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы :

=	=0	=
=	=	=
=	=	=

3. ==.

4. Проверка: =.

1Использовано свойство дистрибутивности умножения матриц относительно сложения:.

2Использовано свойство ассоциативности умножения матриц на число:.

3Использовано свойство монотонности умножения матриц на число:.

4Напомним, что для приведенного кубического уравнения по теореме Виета свободный член уравнения равен произведению его корней, взятому с противоположным знаком. Если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена. Делители числа 36:Подставляя эти числа в уравнение, находим корни.

99