Решение

1. Матрица имеет размерность 22, то есть является представлением линейного оператора в пространстве. Собственный вектор матрицы будем искать в виде:.

2. Составим уравнение для отыскания собственных векторов в матричном виде:

3. Перепишем матричное уравнение в виде системы уравнений:

3. Однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее главной матрицы равен 0. Получаем характеристическое уравнение системы и решаем его:

.

Собственные значения матрицы :,.

4. Найдем собственные векторы для каждого собственного значения:

; ; ; Пусть , тогда собственное направление матрицы, соответствующее собственному значению, задается множеством векторов: , где .

; ; ; Пусть , тогда собственное направление матрицы, соответствующее собственному значению, задается множеством векторов: , где .

Придавая любые значения, будем получать собственные векторы матрицы, соответствующие. Действие матрицы на любой из этих векторов будет в 2 раза увеличивать длину вектора , но направление меняться не будет.

Придавая любые значения, будем получать собственные векторы матрицы ,соответствующие . Действие матрицы на любой из этих векторов будет в 2 раза увеличивать длину вектора, а направление менять на противоположное.

Дадим геометрическую интерпретацию полученного решения. Пусть матрица оператора задана в базисе . Рассмотрим действие оператора на 3 вектора:,,. Векторыи- собственные векторы матрицы, векторне является ее

собственным вектором. Умножим каждый из векторов на матрицу :

===2=2;

=== -2= -2;

==.

Замечание. Найдем матрицу оператора в базисе, состоящем из собственных векторов оператора. Согласно равенству (5.4), она имеет вид:

(5.9)

где , матрица, столбцами которой являются координаты собственных векторов матрицыв базисе.

Нормируем базис, состоящий из собственных векторов, то есть выберем итак, чтобы собственные векторы имели единичную длину:,. При таких значенияхиматрицаимеет вид:. Найдем. (Правило вычисления обратной матрицы см. стр. ).

Подставляя ,ив равенство (5. 9), получаем:

=∙∙=

∙==.

Как мы видим, матрица линейного оператора в базисе, состоящем из собственных векторов оператора, является диагональной. По диагонали стоят собственные числа оператора. Такое утверждение справедливо для любых операторов. Запишем его в общем виде:

(5.10)

где - матрица линейного оператора в базисе, состоящем из собственных векторов оператора n-мерного линейного пространства; - собственные значения оператора.

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в базисе () матрицей. Записать матрицу линейного оператора в базисе, состоящем из собственных векторов пространства.