5.2. Алгебра линейных операторов

Пусть в пространстве заданы два линейных оператораи,- произвольный вектор пространства.

Определение 5.3. Суммой линейных операторов ,называют линейный оператор+такой, что(+)=+.

Определение 5.4. Произведением оператора на число α называют оператор (α) такой, что(α)=(α).

Определение 5.5. Произведением оператора на оператор называют оператортакой, что=()

Пусть матрицами операторов ив базисеявляются матрицыи. Поскольку оба оператора действуют в пространстве, матрицыиявляются квадратными матрицами порядкаn. Покажем, что в этих условиях все операции над иможно являются операциями над их матрицами.

1. (+)=+=+=(+)¹.

Следовательно, матрицей (+) в базисеявляется матрица+.

2. (α)=(α)=(α)= (α)².

Следовательно, матрицей (α) в базисеявляется матрицаα.

3. Оператор сначала преобразует векторпо закону:=,

а затем вектор () - по закону: ()=()=(). Получаем:

=()=()=()=()³.

Следовательно, матрицей оператора в базисеявляется матрица

().

Рассмотрим множество всех линейных операторов в пространстве . Обозначим это множествоℒ(). Во множествеℒ() заданы операции сложения операторов, умножения их на число, умножения оператора на оператор. Перечислим свойства указанных операций, принимая их без доказательства.

1. Замкнутость множества ℒ() относительно всех перечисленных операций: в результате выполнения указанных операций над операторами множестваℒ(), получаем операторы, принадлежащие тому же множеству.

2. Свойства сложения:

2.1. Коммутативность: .

2.2. Ассоциативность: .

2.3. Наличие нуля: в множестве ℒ() существует оператортакой, что для любого

оператора ℒ() выполняется равенство:.

2.4. Наличие противоположного элемента: для любого оператора ℒ() найдется

оператор () такой, что.

3. 3. Свойства умножения:

   1. Ассоциативность: .

   2. Наличие 1: в множестве ℒ() существует оператортакой, что для любого оператораℒ() выполняются равенства:.

4. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Отметим, что матрицей нулевого оператора в любом базисе является нулевая матрица, матрицей единичного оператора в заданном базисе является единичная матрица.

5.3. Собственные векторы, собственные направления и собственные значения линейного оператора

Линейный оператор, в общем случае действуя на векторы пространства, меняет как их длину, так и направление. Встает вопрос: существуют ли векторы, которые под действием оператора остаются коллинеарными своему первоначальному направлению, (то есть направление остается либо прежним, либо меняется на противоположное)? Решение этого вопроса является центральным пунктом при работе со многими математическими моделями экономических систем: моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева), моделью международной торговли и пр.

Напомним, что в пространстве n-мерных арифметических векторов два вектора иназывают коллинеарными, если существует действительное число(греческая буква

«лямбда») такое, что =. По правилу умножения вектора на число, то есть длина вектора изменяется враз. Направление вектораопределяется по правилу:

.

Определение 5.6. Собственным вектором оператора называют ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству:=.

Определение 5.7. Собственным направлением оператора называют все векторы , где- собственный вектор оператора, а- любое действительное число.

Определение 5.8. Собственным значением оператора называют число , для которого выполняется равенство:=, где- ненулевой вектор.

Сформулируем поставленную выше задачу для случая, когда линейный оператор действует вn-мерном пространстве с выбранным базисом. В этом случае, согласно теореме о матрице линейного оператора, существует матрица=такая, что, где=- столбец координат векторав базисе, то есть. Требуется найти вектор , который при умножении на него матрицы, даст вектор, то есть будет выполнено равенство:

=,

или в развернутой форме:

(5.5)

Если оператор представлен матрицей , то говорят особственных векторах , собственных направлениях и собственных значениях матрицы .

Чтобы найти собственные направления матрицы , надо решить систему (5. ). Перенесем все неизвестные в левую часть системы:

(5.6)

или кратко:

(5.7)

где - единичная матрица, порядкаn.

Система (5.6) – однородная СЛАУ. Напомним, что однородная СЛАУ всегда совместна. Если определитель ее главной матрицы отличен от 0, то единственным решением системы является нулевое решение, если же определитель равен нулю, то система имеет отличные от нуля решения. Поскольку собственный вектор матрицы не равен нулю по определению, то для его существования необходимо и достаточно, чтобы

(5.8)

Решив последнее уравнение относительно , найдем собственные значения матрицы. Уравнение (5.8) называютхарактеристическим уравнением матрицы . Найдя корни характеристического уравнения, последовательно подставляя их в систему (5.6) и решая получаемые системы, найдем собственные векторы матрицы, каждый из которых соответствует определенному собственному значению.

Рассмотрим несколько примеров, в каждом из которых будем выполнять последовательность действий решения задачи об отыскании собственных значений и собственных направлений матрицы.

Пример 1.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Дать геометрическую интерпретацию полученного решения.