5. Линейные операторы

5.1. Линейный оператор в векторном пространстве

Рассмотрим пример. Имеем матрицу:

и вектор =. Найдем их произведение:

=.

Умножив матрицу на вектор, получили другой вектор, причем,. Взяв любой вектор изиподействовав на него матрицей , получаем определенный вектор пространства. Матрицапредставляетоператор в пространстве , она которыйпреобразует векторы пространства в векторы пространства, то есть каждому вектору одного пространства ставит в соответствие определенный, единственный вектор другого пространства.

Понятие оператора, точнее линейного оператора в линейном пространстве широко используется при решении прикладных, (в частности, экономических) задач. Прежде, чем давать определение линейного оператора, рассмотрим определение отображения одного множества в другое.

Определение 5.1. Отображение множества X во множество Y – это правило или закон, по которому каждому элементу множества X поставлен в соответствие определенный (единственный) элемент множества Y.

Примерами отображений могут служить функции, изучаемые в школьном курсе математики. Например, - отображение множества всех действительных чисел во множество чисел отрезка,- отображение множества положительных действительных чисел во множество всех действительных чисел. Отображением множества векторов какого-либо векторного пространства на множество неотрицательных действительных чисел является длина (норма) вектора: каждому вектору поставлено в соответствие определенное неотрицательное число – его длина.

Определение 5.2. Пусть и- линейные векторные пространства.Линейный оператор, действующий на пространстве со значениями в пространстве - это закон , который каждому векторуставит в соответствиеоднозначно определенный вектор , при этом выполнены два условия:

1. Аддитивность: , для любых векторов

2. Однородность: , для любого числаи любого вектора.

Иными словами можно сказать, что линейный оператор, действующий в пространстве со значениями в пространстве, - это отображение пространствав пространство,сохраняющее линейные операции. Элемент называютобразом элемента .

Из свойств аддитивности и однородности вытекает, что линейный оператор переводит любую линейную комбинацию векторов пространства в линейную комбинацию векторов пространства, сохраняя коэффициенты линейной комбинации:

.

Пусть ,,и- какие-либо базисы пространствисоответственно. Любые векторыимогут быть представлены в виде линейных комбинаций базисных векторов своих пространств:

,

.

Рассмотрим линейный оператор , переводящий векторв вектор:

.

(5.1)

Поскольку векторы , они также могут быть представлены линейными комбинациями базисных векторов:

(5.2)

Подставив равенства (5. 2) в (5.1) и выполнив перегруппировку слагаемых, получаем:

==

.

В силу единственности разложения вектора по базису, имеем: или

.+

(5.3)

Матрицу =называютматрицей линейного оператора в базисах,. Столбцы такой матрицы – это координаты образов базисных векторов пространствав пространстве, если базисом пространстваявляется система векторов.

Итак, если заданы базисы ипространствии матрица линейного операторав этих базисах, то по известным координатам вектораможно найти координаты вектора. Подчеркнем, что один и тот же оператор имеет множество матриц, каждая из которых соответствует паре определенных базисов пространстви.

Важным частным случаем является ситуация, когда , то естьи.

Пример.

Оператор действует в пространстве. В базисе () он имеет матрицу:. Геометрическая интерпретация действия оператора может быть двоякой:

1. Оператор изменяет все векторы пространства , оставляя неизменным базис.

2. Оператор меняет базис () на базис (). Векторы, не изменяясь, приобретают новые координаты.

Пусть координаты вектора =в базисе (). Оператор переводит векторв вектор=, координаты которого в базисе () вычисляются по правилу: =. (5. 4)

Базис () заменяется базисом ().Координаты векторовв базисе () – столбцы матрицы линейного оператора. Координаты векторав базисе () вычисляются по правилу (5. ) Отметим, что оператор является оператором поворота на угол. Векторповернут относительно векторана угол (-), векторыповернуты относительно векторовна угол.

Рассмотренный пример показывает, что, с геометрической точки зрения, действие оператора в пространствес базисомможно рассматривать либо (а) как изменение всех векторов пространства при сохранении базиса, либо (б) как переход к новому базису при сохранении направлений и длин векторов пространства. С точки зрения линейной алгебры эти два подхода неразличимы. Чтобы найти «новые координаты» вектора надо матрицу оператора умножить на его «старые координаты». Результат же этой операции трактуется либо как изменение самого вектора, либо как переход к новому базису. Та или иная трактовка выбирается в зависимости от условий конкретной задачи.

Вопрос о существовании и единственности матрицы линейного оператора решает следующая теорема, доказательство которой можно найти в [ ].

Теорема (о матрицах линейных операторов). Для любого линейного оператора в n-мерном пространстве L и любого базиса этого пространства матрица линейного оператора в данном базисе существует и единственна.

В пространстве имеется множество различных базисов. В каждом из них операторимеет однозначно определенную матрицу. Встает вопрос о связи матриц одного оператора в разных базисах. Пустьи- два различных базиса в пространстве. Пусть также матрица, столбцами которой являются координаты векторовв базисе, преобразует координаты векторов в базисев координаты векторов в базисе, матрица, столбцы которой – координаты векторовв базисесовершает обратное преобразование:

.

Пусть оператор преобразует векторв вектор, то есть=, в каком бы базисе векторыини были представлены. Пусть также,ипредставления векторов,и матрица операторав базисе;,и- в базисе. Имеют место следующие равенства:

Базис	Базис

Из этих равенств вытекает:

.

Поскольку разложение вектора по базису единственно, из последнего равенства следует:

(5.4)

Очевидно, что, умножив столбец координат любого векторав базисена матрицу, получим- столбец координат этого же вектора в базисе, а если умножитьна, вновь вернемся к столбцу координат векторав базисе, то есть

Учитывая последнее равенство, перепишем (5.4):

.

Обобщая полученные формулы, запишем формулировку теоремы:

Теорема о связи матриц линейного оператора. Если и- два каких-либо базиса пространствас линейным оператором,и- матрицы оператора в этих базисах,- матрица перехода от базисак базису. Имеет место равенство: