2. Система координат. Арифметические векторы

2.1. Декартова прямоугольная система координат. Координаты вектора

Выберем в геометрическом пространстве «удобную» точку O – начало координат. Приложим к этой точке ортонормированный правый базис . Проведем через векторы базиса числовые оси, сонаправленные базисным векторам (рис.2.1). Полученную систему векторов и осей называют декартовой прямоугольной системой координат в пространстве.

z А M O y M1 x M2	Оси, проходящие через базисные векторы традиционно называют: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат. Будем рассматривать векторы пространства V3 , приложенные к началу координат О. Любой точке А соответствует вектор из V3 , концом которого является точка А. Любой направленный
Рис.2.1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве

отрезок имеет своего представителя в V³. Чтобы найти его, надо провести через начало координат О прямую, параллельную , и от точки О отложить на этой прямой направленный отрезок .

Если задана система координат, то есть выбран базис и точка его приложения, то любой точке пространства, а значит и любому вектору из

z z1 A y1 y x1 x	V3 соответсвует тройка чисел – координат вектора в данном базисе. Эти числа есть проекции на базисные векторы или, что то же самое, на координатные оси Ox, Oy , Oz . На рис. 2.2 показано разложение вектора = по базису . Отрезок Ax1 перпендикулярен , отрезок Ay1 перпендикулярен , отрезок Az1 перпендикулярен . Следовательно:
Рис. 2.2. Разложение вектора = по базису

	(2.1)
	(2.2)

При выбранном базисе представление любого вектора в виде (2.2) единственно, из чего вытекают два следствия:

• Если задана система координат, то каждому вектору соответсвует единственная тройка чисел – проекций этого вектора на оси координат.

• Если задана система координат, то каждой тройке чисел , соответсвует единственный вектор, для которого эти числа являются проекциями на оси координат.

Аналогичные выводы можно сделать и о точках пространства, так как каждая точка – это конец вектора, приложенного к началу координат.

Определение 2.1. Трехмерным арифметическим вектором называют упорядоченную тройку чисел - координат вектора.

Определение 2.2. Трехмерным арифметическим пространством называют множество всех трехмерных арифметических векторов.

Если координатами векторов являются действительные числа, то трехмерное арифметическое пространство обозначают R³ .

Определение 2.3. Система координат – это способ установления взаимно однозначно соответствия между множествами геометрических и арифметических векторов.⁵

Следующая схема иллюстрирует связь между геометрическими и арифметическими векторами.

		Векторы
			Система координат
Геометрические векторы					Арифметические векторы

Геометрическим векторам на плоскости соответствуют двумерные арифметические векторы, то есть упорядоченные пары чисел. Переход от пространства V² к пространству R² и обратный переход осуществляются с помощью систем координат на плоскости. Декартова прямоугольная система координат на плоскости – это базис , приложенный к «удобной» точке О – началу координат. Через базисные векторы пропущены сонаправленные им числовые оси – ось абсцисс и ось ординат.

Геометрическим векторам на прямой соответствуют одномерные арифметические векторы или числа.

Связь между геометрическими и арифметическими векторами позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами, сводя операции с геометрическими объектами к операциям над числами. С другой стороны, операции в арифметических пространствах всегда можно проиллюстрировать геометрически, а это позволяет значительно облегчить решение алгебраических задач.