1.5. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение связывает воедино длины векторов и величины углов между ними.

Определение 1.16. Скалярным произведением векторов и называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, если , , и равное нулю, если хотя бы один из векторов нулевой.

(1.1)

O Рис. 1.18. Угол между векторами и .

Величину угла между векторами и принято считать положительной, если угол отсчитывается от первого вектора ко второму против часовой стрелки, и отрицательной, - если по часовой стрелке. Для векторов на рис. 1.18: >0, но <0. Будем считать, что для любых векторов и : - <  .

Основные свойства скалярного умножения векторов:

1. Коммутативность: .

2. Дистрибутивность относительно сложения векторов: .

3. Однородность: .

4. Свойство скалярного квадрата: .

Свойства 1 и 4 очевидны, свойства 2 и 3 можно проиллюстрировать чертежом. Выполните это самостоятельно для пространств V² и V³.

С помощью скалярного произведения решают следующие задачи:

1. Нахождение длины вектора, представленного линейной комбинацией известных векторов.

2. Установление ортогональности векторов.

3. Нахождение угла между векторами по известному скалярному произведению и длинам векторов.

Пример.

P A M B O C

Дано: =2; =4.5; =, , , . Найти: (1) , (2) COM.

Решение

1. 

2. =()²=9²-3 +=94-34.5+=27.5625, .

3. COM, COM=.

,

.

COM=, COM..

С понятие скалярного произведения тесно связано понятие проекции вектора на вектор, вектора на ось, вектора на плоскость которые определяются следующими формулами:

проекция вектора на вектор :	(1.2)
проекция вектора на ось Ox, :	(1.3)
проекция вектора на плоскость :	(1.4)

Рис 1.19 (а,б) иллюстрирует эти понятия.

Сравнивая формулы (1.1) и (1.2), легко видеть, что

(1.5)

B A   B’ O S A’ x	A  O   A’’ x A’
Рис.1.19 (а). Проекции векторов и на вектор и на ось Ox:	Рис.1.19 (б). Проекции вектора на плоскость и на ось Ox: >0

Формулу (1.5) перепишем следующим образом: =. Очевидно, что вектор имеет длину, равную 1, и сонаправлен . Такой вектор называют ортом вектора и обозначают:. Используя понятие орта, проекцию вектора на вектор можно записать следующей формулой:

(1.6)

Для проекции вектора на ось справедлива следующая формула:

,

(1.7)

где - единичный вектор оси.

Из формулы (1.6) и свойств скалярного произведения вытекают свойства проекций:

1. или перпендикулярен .

2. . Если вектор умножить на какое-либо число, то и проекция его будет умножена на это же число.

3. . Проекция суммы векторов равна сумме проекций этих векторов.