4.5. Обобщение теории слау

Пусть - неоднородная СЛАУ, причем- ранг главной матрицы системы,- ранг расширенной матрицы системы,- число неизвестных. Возможные случаи преобразования системы запишем в виде схемы:

система не имеет решений (1)

система имеет решения

система имеет единственное решение (2)

система имеет бесконечно много решений (3)

В случае (2) единственное решение системы находят по формулам Крамера.

Рассмотрим более детально случай (3).

Назовем соответствующей однородной системой, - ее общее решение. После преобразования Ньютона-Гаусса неоднородная система, с точностью до нумерации переменных, примет вид:

(4.6)

или в матричной форме:

(4.7)

Подставив общее решение соответствующей однородной системы в левую часть равенства (4.7 ), получим:

.

=- частное решение неоднородной системы при. В самом деле:==. Подставим суммув левую часть равенства (4. ), получим:

()==+=.

Итак,

()=

(4.8)

Равенство (4.8) справедливо при любых значениях произвольных констант , а следовательно является общим решением неоднородной системы.

Вывод. Если неоднородная СЛАУ имеет бесконечно много решений, то ее общее решение есть сумма общего решения соответствующей однородной СЛАУ и какого-либо частного решения неоднородной.

1Глоссарий помещен в середине пособия и предназначен для самостоятельного заучивания новых понятий.

2Символ «» следует читать так: «Для любых векторов,исправедливо утверждение, записанное в скобках»

3Символ «» следует читать так: «Существует нуль-вектоортакой, что для любого векторасправедливо утверждение, записанное в скобках.

4Символ «» следует читать так: «Для любых действительных чисел x,y….».

5Декартова прямоугольная система координат далеко не единственный способ преобразования геометрических пространств в арифметические и обратно. В качестве базиса может быть выбрана любая тройка некомпланарных векторов, не обязательно ортонормированная. Более того, в роли координат могут выступать не только длины отрезков со знаками «+» или «-«, но и другие величины. Например, широко используются цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве, а также полярная система координат на плоскости, где в роли координат, наряду с длинами отрезков, выступают величины углов

6МножествоRс операциями сложения и умножения в алгебре называют полем действительных чисел. Поле – одна из основных алгебраических структур. Более подробно об алгебраических структурах можно прочитать, например, в [ ].

7Данное предложение нельзя считать определением равенства матриц, т.к. интуитивно понятные слова «соответствующие элементы», строго говоря, требуют разъяснения.

8Для желающих ознакомиться с этими интересными понятиями можно порекомендовать, например, [ ].

90