4.4. Однородные слау и их решение

Определение 4.4. СЛАУ называют однородной системой, если ее столбец свободных членов состоит из нулей:

,

(4.5)

где .

В разделе 2.3 (формула 2.23), было отмечено, что решение вопроса о линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, сводится к решению однородной СЛАУ: На основании Теоремы 1, вопрос о линейной зависимости или линейной независимости системы n-мерных арифметических векторов может быть решен с помощью системы уравнений:

(2.23)

Таким образом, вопрос о линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, сводится к вопросу о решении однородной системы уравнений: если (2.23) имеет только нулевое решение, то система векторов () свободна, если же имеются ненулевые решения, то система векторов линейно зависима.

Дадим ответ на вопрос, в каких случаях однородная СЛАУ (4.5) имеет единственное нулевое решение, а в каких бесконечно много решений..

Выпишем расширенную матрицу системы (4.5):

.

Поскольку столбец свободных членов нулевой, то ранг расширенной матрицы не может быть выше ранга главной матрицы. Поэтому система (4.5) всегда совместна. Напомним (см. раздел 4.3), что, если , то совместная система имеет единственное решение, если же, то решений бесконечно много. Поэтому, если число переменных однородной СЛАУ равно рангу матрицы системы, то система имеет единственное решение – это нулевое решение.

Таким образом, если после преобразований матрицы однородной СЛАУ, матрица приведена к квадратной матрице, то векторы - столбцы этой матрицы образуют линейно независимую систему.

Если , то для нахождениявсех решений СЛАУ (4.5) выполним последовательность операций:

1. Выполнить элементарные преобразования строк матрицы и перестановку ее столбцов. В результате этих преобразований установить эквивалентность матрицыматрице вида:~

2. Объявить неизвестные, соответствующие матрице , базисными переменными; неизвестные, соответствующие матрице- свободными переменными.

3. Придавая свободным переменным произвольные значения и, выражая через них базисные переменные, получить общее решение однородной СЛАУ.

Рассмотрим пример решения однородной системы.

Пример.

Решить систему: .

Решение.

~~ ~~~

~~.

Базисные переменные: (), свободные переменные: ().

Пусть , где- произвольные константы (любые действительные числа). Тогда:,

Запишем решение в векторном виде:

==C₁+C₂+C₃.

Проанализируем полученное решение. В записи решения участвуют три вектора

= ,=,=.

Первые две координаты этих векторов соответствуют базисным переменным , последние три – свободным переменным. В каждом из векторов одна из свободных переменных принимает значение 1, а остальные две – 0. Такую систему векторов называютфундаментальной системой решений однородной СЛАУ. Общее решение СЛАУ есть сумма произведений векторов фундаментальной системы на произвольные константы .

Итак, общее решение однородной СЛАУ , при условииможет быть представлено следующим образом:

,

где произвольные действительные числа, () фундаментальная система решений, первыеr компонентов которых соответствуют базисным переменным, последние (n-r) – свободным переменным, причем в каждом векторе свободная переменнаяпринимает значение 1, а все остальные свободные переменные – значения 0.

Назначение одних переменных базисными, а других – свободными, определяется смысловым значением этих переменных. В связи с этим, возникает задача о переводе свободных переменных в базисные, а базисных - в свободные. Пусть, например, требуется перевести свободные переменную в базис, а базисную переменнуюсделать свободной:

~~

~~

Базисные переменные: (), свободные переменные: ().

Пусть , где- произвольные константы. Тогда:,

Запишем решение в векторном виде:

==

=C₁+C₂+C₃=.

Отметим, что кратко общее решение однородной системы можно записать в виде:

,

где - столбец неизвестных,- строка произвольных констант,- матрица размерности, столбцами которой являются фундаментальные решения однородной системы.