3. Вычисление определителя порядка n

Вычисление определителей произвольного порядка можно выполнять, используя их разложение по строке или столбцу, аналогично тому, как это сделано в случае определителя третьего порядка. При этом вычисление определителя порядка n сводится к вычислению определителей порядка n-1. Разложение определителей порядка n-1 сводит его вычисление к вычислению определителей порядка n-2 и т.д. до тех пор, пока не получим определители третьего или второго порядков, которые можно вычислить, используя приведенные выше правила.

Пример. Вычислить определитель:

.

Вычислим определитель разложив его по третьей строке.

==

=+

+(=

==0.

Обратим внимание на то, что при разложении определителя удобно выбирать ту строку (или столбец), которая содержит много нулей: выпадает необходимость вычислений соответствующих им алгебраических дополнений, так как умножение на нуль любого числа все равно дает нуль.

3.4. Свойства определителей. Методы вычисления, основанные на свойствах

Пусть - квадратная матрица порядка n. Представим ее как систему n арифметических векторов-строк:

==.

Основные свойства определителей приведены в таблице на следующей странице. Опираясь на эти свойства, можно свести вычисление определителя к последовательности однотипных действий.

Прежде всего, обратим внимание на то, что при транспонировании столбцы матрицы становятся строками, а строки столбцами. Такая операция, согласно свойству симметричности, не меняет определителя этой матрицы. Поэтому, все остальные свойства (аддитивность, однородность, антикоммутативность), касающиеся строк, в равной мере относятся и к столбцам.

Опираясь на свойства определителей, выведем следующее важное утверждение.

Утверждение. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда система строк ( столбцов) матрицы линейно зависима.

Напомним, что система векторов является линейно зависимой, если хотя бы один из векторов системы может быть представлен линейной комбинацией других ее векторов. Пусть система векторов строк матрицы A линейно зависима. Одна из ее строк является линейной комбинацией других. Пусть это будет первая строка:

Основные свойства определителей

Симметричность	Аддитивность по строкам	Однородность по строкам	Антикоммутативностьпо строкам
	=+	=	= -

==

Используя свойства аддитивности и однородности определителей, запишем:

++….++….+(*)

Каждый из определителей в правой части равенства (*) содержит 2 одинаковые строки.

Рассмотрим A_i=. Если поменять местами первую иi-тую строку в этом определителе, то он не изменится, так как эти строки состоят из одинаковых чисел. Но согласно свойству антикоммутативности, определитель при этом должен сменить знак:

A_i = - A_i.

Но существует единственное число, для которого справедливо подобного рода равенство – это нуль. Следовательно, A_i=0. Но тогда и все остальные определители в правой части равенства (*) равны нулю. Из этого вытекает, что 0.

Из рассмотренного утверждения вытекает следствие:

Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить любую линейную комбинацию других строк (столбцов) определителя, то определитель не изменится.

Следствие может быть использовано для сведения определителя к треугольному или диагональному виду, после чего вычисление определителя становится очень простым.

Покажем на примере, как вычисляются определители треугольных и диагональных матриц.

Пример.

.

Вычисляя определитель, мы последовательно раскладывали определители 4, 3, 2-го порядков по первому столбцу. Процедура вычисления не изменилась бы, если бы матрица определителя была нижнетреугольной или диагональной.

Вывод. Определители треугольных и диагональных матриц равны произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Любой определитель, не равный нулю, можно свести к вычислению определителя треугольного или диагонального вида, пользуясь элементарными преобразованиями его матрицы.

№ п/п	Элементарные преобразования матрицы определителя	Операции с определителями
1	Умножение строки (столбца) на любое, отличное от нуля, число x.	Умножить определитель на число .
2	Деление строки на любое, отличное от нуля, число x.	Умножить определитель на число x.
3	Сложение любой строки (столбца) с линейной комбинацией других строк (столбцов).	Определитель не меняется.
4	Изменение порядка следования строк (столбцов)	Поменяв местами две любые строки (столбца) определителя, поставить перед определителем знак «-».

Пример.

Вычислить определитель, сведя его к треугольному виду:

======

==.

В фигурных скобках указаны выполняемые действия. Например, означает: из третьей и четвертой строк вычли вторую строку.

Если порядок матрицы велик, то сведение ее к треугольному виду удобно выполнять по следующему алгоритму:

1. Выделить разрешающий элемент. При вычислении определителя – это элемент, стоящий на главной диагонали .

2. Переписать строку, в которой стоит разрешающий элемент (разрешающую строку).

3. В столбце под разрешающим элементом (разрешающем столбце) записать нули.

4. Остальные элементы, стоящие ниже разрешающей строки и правее разрешающего столбца, вычислить по формуле: , (), которую легко запомнить какправило прямоугольника:

Натягиваем прямоугольник так, чтобы одна его диагональ соответствовала разрешающему элементу и вычисляемому элементу. На месте вычисляемого элемента записываем разность вычисляемого элемента и дроби, в числителе которой - произведение элементов, стоящих на другой диагонали прямоугольника, а в знаменателе – разрешающий элемент.

При вычислении определителя матрицы n-ного порядка последовательность действий 1- 4 выполняется за n-1 шаг: на первом шаге в качестве разрешающего элемента выбирают , на втором -и т.д., на шаге (n-1) - .

Применим данный алгоритм к решению следующего примера.

Пример.

Вычислить определитель матрицы:

Решение

Шаг 0. Запишем определитель: =

Шаг 1. Разрешающий элемент . Выполняем последовательность действий 1-4:

=

Шаг 2. Разрешающий элемент . Выполняем последовательность действий 1-4:

=

Шаг 3. Разрешающий элемент . Выполняем последовательность действий 1-4:

=

Шаг 4. Разрешающий элемент . Выполняем последовательность действий 1-4:

= .

Матрица имеет треугольный вид, следовательно, ее определитель равен произведению диагональных элементов:

=

Замечание. Правило прямоугольника широко применяется в Линейном программировании – специальной дисциплине, которая изучается на старших курсах студентами экономического профиля.