Свойства умножения матриц

1. Умножение матриц выполнимо, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

2. Умножение некоммутативно: существуют матрицы A и B, для которых. Матрицы, для которыхназываюткоммутирующими матрицами.

3. Умножение ассоциативно .

4. Умножение дистрибутивно относительно сложения:

.

5. Если E – единичная матрица порядка n и - прямоугольная матрица, содержащая n строк и произвольное число столбцов, то . Если - прямоугольная матрица, содержащая n столбцов и произвольное число строк, то . Если жеС – квадратная матрица порядка n, то . Другими словами, единичная матрица играет роль 1 в умножении чисел.

Свойства умножения матриц принимаем без доказательства. Свойство 5 проиллюстрируем на примере.

Пример.

.

Как известно, если при умножении чисел , то числоназывают числом, обратным числу. Обратного числа не имеет только. Во множестве квадратных матриц порядкаn некоторые матрицы также имеют обратные.

Определение 3. Матрицу называют матрицей,обратной матрице A, если выполняются равенства: , гдеA – квадратная матрица порядка n, E – единичная матрица порядка n.

Не всякая квадратная матрица имеет обратную. Условия существования обратной матрицы и алгоритмы ее нахождения рассматриваются в разделе 3.4.

3.3. Определители. Общие методы их вычисления

Определитель или детерминант квадратной матрицы – это одна из числовых характеристик матрицы. Определители используются при исследовании матриц, при решении систем уравнений и пр.

Обозначения определителей.

Пусть ==- квадратная матрица порядкаn.

- определитель матрицы D, определитель порядка n.

Обратим внимание на то, что в обозначении длины вектора и определителя матрицы использован один и тот же символ – прямые скобки:

- вектор, - длина вектора, его числовая характеристика;

- матрица, - определитель матрицы, ее числовая характеристика.

В строгом определении понятия «определитель» используются такие понятия как «перестановка» и «подстановка», изучение которых выходит за рамки нашего курса⁸. Не давая строгого определения, покажем, как вычисляются определители различных порядков.

1. Вычисление определителей второго порядка.

=

побочная диагональ главная диагональ

Пример.

.

2. Вычисление определителей третьего порядка

= .

Последовательность выполнения действий при вычислении определителя третьего порядка легко запомнить с помощью следующей схемы, которая называется Правилом треугольника для вычисления определителя третьего порядка.

Другое правило вычисления определителя третьего порядка называют Правилом разложения определителя по строке или столбцу. Оба эти правила представлены следующими таблицами.

Правило треугольника

+	-
главная диагональ Сложить произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна главной диагонали	побочная диагональ Сложить произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, одна из сторон которых параллельна побочной диагонали
 Из первой суммы вычесть вторую

Разложение определителя по строке или столбцу

№ п/п	Последовательность действий	Выполнение действий	Комментарии
1.	Выделить любойстолбец или строку определителя		Выделен третий столбец
2.	Для каждого элемента выделенной строки или столбца составить определители второго порядка		Полученные определители второго порядка называютминорами исходного определителя третьего порядка. Индексы i,jу символапоказывают, что вычекнутыi-тая строка иj-тый столбец.
3.	Приписать каждому минору знаки «+» или «-»		Полученные определители называюталгебраическими дополнениями элемента . Знаковый множительравен 1, если сумма индексовi+jчетная, и (–1), еслиi+jнечетная.
4	Вычислить определитель		равен сумме произведений элементов выделенного столбца (строки) на их алгебраические дополнения.

Пример.

Вычислить определитель: .

1). Применим правило треугольника:

+

-

=

=.

2). Вычислим определитель разложением по третьей строке:

=

=.