2.2. Операции над арифметическими векторами

Множество всех одно-, двух- и трехмерных арифметических векторов обозначают R, R² , R³ соответственно, а сами векторы, так же, как и их геометрические образы: , ,… Подчеркнем, что векторы одинаковой размерности различаются между собой не только значениями координат, но и порядком их следования, что совершенно естественно, имея ввиду геометрический смысл координат. Например, векторы на плоскости с координатами (1,2) и (2,1) – это разные векторы.

Записывают арифметические векторы либо в виде строки:

=(- вектор строка,

(2.3)

либо в виде столбца:

= =- вектор столбец.

(2.4)

Форма записи определяется условиями задачи. Поскольку построчная запись более удобна, вектор столбец можно записать строкой, указав символом «T» его истинный вид (формула 2.4). Замена столбца строкой или строки столбцом называется операцией транспонирования, отсюда и символ ^«T» .

Во множествах арифметических векторов определены все основные понятия и все операции, что и во множествах геометрических векторов.

1.Нуль вектор. .

2.Равенство векторов. Пусть , - два вектора одинаковой размерности 3 .

(2.5)

3.Норма вектора.

Норма вектора - аналог длины геометрического вектора. Норма арифметического вектора может быть определена по-разному. Мы будем пользоваться нормой, определяемой следующей формулой:

,

(2.6)

где - координаты .

Если одно- двух- или трехмерному вектору соответствует геометрический вектор , то по теореме Пифагора его длина также определяется формулой (2.6).

4. Умножение вектора на число:

=(a1,a2,a3 ).

(2.7)

5. Коллинеарность, сонаправленность и противонаправленность векторов.

Ненулевые векторы и коллинеарны, если существует число  такое, что

=

(2.8)

При этом:

если >0, векторы сонаправлены, если <0, векторы противонаправлены,

(2.9)

Из (2.8) следует, что два вектора с ненулевыми координатами коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Пусть = , =, тогда:

= =

(2.10)

Если же одна или две координаты вектора равны нулю, то одноименные им координаты коллинеарного вектора также равны нулю.

6.Нормированный вектор или ().

Как и в случае геометрических векторов, - это вектор, норма которого равна 1 , и который при этом сонаправлен :

=

(2.11)

Чтобы нормировать вектор, надо разделить все его координаты на норму.

7. Сложение и вычитание векторов:

.

(2.12)

9. Скалярное произведение арифметических векторов.

Рассмотрим скалярное произведение арифметических векторов, опираясь на их геометрические аналоги.

Пусть имеем два трехмерных геометрических вектора: = и =, и два арифметических вектора: =(), =.

Пользуясь свойствами скалярного произведения (см. стр.), можем записать:

=()()=

=.

По определению скалярного произведения геометрических векторов:

. Аналогично: =1, =1.

Поскольку базисные векторы взаимно перпендикулярны, имеем:

. Аналогично: .

Используя эти равенства, получаем:

=

(2.13)

Скалярное произведение арифметических векторов естественно определить в соответствии с формулой (2.13):

=()=

(2.14)

Скалярное произведение арифметических векторов или произведение строки на столбец есть сумма произведений соответствующих координат векторов.

10. Векторное произведение арифметических векторов.

Векторное произведение арифметических векторов, как и скалярное, определяют, опираясь на взаимосвязь геометрических и арифметических векторов.

Пользуясь свойствами векторного произведения геометрических векторов (см. стр.), можем записать:

=() ()=

=

.

По определению векторного произведения геометрических векторов:

. Аналогично: =, =.

По определению векторного произведения (стр. ) и поскольку ,- правые тройки векторов (см. рис.1.20 а), имеем: , , , а в силу антикоммутативности векторного произведения: , , .

С учетом этих равенств получаем:

==

=+.

==+.

(2.15)

Векторное произведение трехмерных арифметических векторов естественно определить в соответствии с формулой (2.15):

= ().

(2.16)

Если векторы-отрезки лежат в координатной плоскости xOy, то соответствующие им арифметические векторы имеют вид: =(), =, и их векторное произведение имеет координаты:

=(,,) (2.14’’)

Такой вектор коллинеарен базисному вектору .

11.Смешанное произведение арифметических векторов.

Определение скалярного и векторного произведений арифметических векторов, позволяет естественным образом определить их смешанное произведение. Пусть , =(), =.

=

=-+

=-+

(2.17)

Приведенные в этом разделе формулы широко используются при решении геометрических задач на вычисление углов, проекций, площадей, объемов и т.п. Развитие геометрической составляющей понятия арифметического вектора является предметом аналитической геометрии. С другой стороны, понятие одно-, двух- и трехмерных арифметических векторов допускает естественное обобщение на векторы произвольной размерности, которые составляют предмет изучения линейной алгебры. Как видно из схемы изучения курса (см. стр. ), геометрическая и алгебраическая линии идут параллельно, поэтому изучать их можно в произвольном порядке. Однако следует учесть, что исходным пунктом обеих линий является данный раздел.