Пу-112 КТэ 2 сем / Математика / КЗ для Филиппова

Задания 11- 20.

Даны точки А(2; 0; 1) В(-1; 0; 0) С (0; 2; 3) S(3; 2; 1).

По данным точкам построить пирамиду в системе координат и найти:

1. длину ребра АВ;

2. угол межlу ребрами АВ и АS;

3. площадь основания пирамиды;

4. объем пирамиды;

5. уравнение прямой АВ;

6. уравнение плоскости АВС;

7. угол наклона ребра АS к основанию пирамиды;

8. проекцию вершины S на плоскость АВС;

9. длину высоты пирамиды.

1. Длина ребра =

==.

2. Угол между ребрами или

3. Найдем векторы и

=(-1-2; 0-0; 0-1) = (-3; 0; -1)

=(3-2; 2-0; 1-1) = (1; 2; 0)

= -31+ 02 - 1 0 = -3; = ; = =

;

= ;

4. Найдем площадь – основание пирамиды.

, где – векторное произведение.

По формуле= Найдем

= = =

= .

= .

4) Объем пирамиды , применяя смешанное произведение векторов, по формуле

= (-3; 0; 1) = (1; 2; 0) = (-2; 2; 2)

= .

5. Известны точки и .

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки имеет вид

Получим каноническое уравнение прямой :

, в котором известен направляющий вектор прямой

6. Уравнение плотности составим по формуле

, где

Подставим координаты точек в данное уравнение

.

или

.

из полученного уравнения запишем координаты нормального вектора

7. Дадим иллюстрацию для решения задачи 7)

8)Запишем уравнение прямой, проходящей через точку S перпендикулярно плоскости ABC:

– координаты вектора, параллельного данной прямой и перпендикулярного плоскости ABC. Это вектор .

– координаты точки S

Проекцию вершины S на плоскость ABC найдем как точку пересечения прямой и плоскости из решения системы

Подставим в уравнение плоскости

Итак – искомая точка пересечения.

8. Длину высоты пирамиды H можно найти из формулы:

Значит , тогда

Задания 51 – 60

Дана система линейных уравнений

Решим систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

а) Данной соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:

Находим обратную матрицу

=

Находим матрицу .

.

б) ; ; – формулы Крамера. Вычислим все определители

в) Метод Гаусса

Составим расширенную матрицу и преобразуем ее с помощью элементарных преобразований.

Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные и . Найдем . , .

Вторая строка соответствует уравнению или ; , .

Аналогично из первой строки запишем уравнение

.

Итак .

Для решения задач 11 – 20 и 51– 60 рекомендуется учебное пособие П.Е. Данко., А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч.1 М.: Оникс 21 век. 2005, гл. I – IV стр. 39 – 91.

Задания 91 – 100

Дано комплексное число . Записать число в алгебраической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения .

Рекомендуемая литература П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч. II гл. III §7 стр. 97 – 101.

Найдем алгебраическую форму комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа определяется по формуле

Изобразив число на плоскости, найдем и.

Итак, число .

Найдем корни уравнения .

=, .

при =0 ,

при ,

при .

Задания 111 – 120

Вычислить пределы.

а) За скобку выносим наивысшую степень для числителя и знаменателя.

б)

_{Для исключения неопределенности} требуется числитель и знаменатель разложить на множители.

_в)

_{В данном случае для исключения неопределенности использованы эквивалентные бесконечно малые, например ,}

_г)

_=.

_д)

=

Задания 131 – 140

Задана функция . Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.

если < 1

, если < 2

если

Кусочно – заданная функция представлена функциями, непрерывные на данных интервалах.

Проверим непрерывность в граничных точках.

Найдем односторонние пределы

;

Левосторонний и правосторонний пределы равны и равны значению функции в точке . Значит функция в этой точке непрерывна.

Аналогично 5, .

Пределы различны, значит в точке функция имеет разрыв с конечным скачком.

График функций выполните самостоятельно.

Обратите внимание на вспомогательное учебное пособие П.Е. Данко., А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова «Высшая математика в упражнениях и задачах», ч.1 гл. V1 §§ 4 – 6.

Задание 141– 150

Найти производные следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

а)

=.

б)

=

в)

г) .

Прологарифмируем обе части равенства

Продифференцируем обе части

;

;

;

д) ;

Функция задана не явно.

;

;

;

.

16